無限級数 [微分積分]
無限級数
数列が与えられたとき、
とおく。
すなわち、
任意の正数ε>0に対し、ある自然数Nが存在し、
が収束するとき、は絶対収束するという。は収束するが絶対収束しないとき、は条件収束するという。
特に、が等比数列
であるとき、部分和は
になるので、|r|<1のとき
は収束し、それ以外では発散する。
無限級数の定義とコーシーの収束条件から、ただちに、次のことが言える。
定理1 (無限級数の収束に関する必要十分な条件)
級数が収束するための必要条件は、任意のε>0に対し、次の自然数Nが存在することである。
定理2
【証明】
が収束するので、定理1より、任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在し、
m=n+1とおくと、任意のε>0に対し、
よって、
(証明終)
【別証】
とおくと、
仮定より、は収束するので、とおくと、
(別証終)
定理2の系
定理2の逆、つまり、「ならばは収束する」は一般に成り立たない。
たとえば、であるがは収束しない。
【解】
ε=1/2>0とすると、どのような自然数Nに対しても、m=2n>n≧Nにとると、
よって、は収束しない。
(解答終)
定理3
λ、μを実数とする。
【証明】
λ=μ=0のときは、明らか。
同時にλ=0、μ=0でないものとする。
は収束するので、任意のε>0に対して、ある自然数Nが存在して
よって、三角不等式から、
(証明終)
問2 次の無限級数の和を求めよ。
【解】
(1)
|a|<1だから、
よって、
したがって、は収束し、
(2) とおくと、
よって、
したがって、
よって、
(3)
したがって、
(解答終)
定理4
【証明】
が絶対収束する、すなわち、が収束するので、定理1より、任意の正数ε>0に対して、ある自然数Nが存在し、
(解答終)
問3 は収束するが、絶対収束しない(無限)級数の例を1つあげよ。