お前らに質問（１２月０３日 定積分）の解答例

お前らに質問（１２月０３日　定積分）の解答例

 

 

１２月３日に出題した問題だけだとつまらないのでｌ問題を追加し、あわせて、その解答を示すにゃ。

 

問題　次のことを証明せよ。ｌ

（１）　f(x)が[a,b]でC¹級ならば

　　

（２）　f(a)=f(b)=0、かつ、[a,b]で｜f’(x)｜≦Mならば

　　

【解答例】

（１）　部分積分すると

　　

 

（２）　f(a)=f(b)=0だから、（１）より

　　

また、だから、

　　

（解答例終）

 

なお、

（２）では、が直線に関して対称であることを利用し、

　　

として計算しているけれど、

　　

として計算してもいいし、

この積分の値は底辺の長さがb−aで高さがの三角形の面積に等しいという幾何学的な意味を考え、

　　

と計算してもいいだろう。

 

ところで、

問題１の（１）より

　　

したがって、

　　

仮定より、f'(x)は[a,b]で連続であり、また、であるので、

積分の第１平均値の定理より、

　　

が成立し、

　　　　

これが台形公式の誤差（の限界？）を与える式になるはずである。

 

一方、

　　

という誤差の評価式もある。

 

もちろん、（１）ではf(x)はC¹級、（２）ではC²級という違いがあるけれど、誤差の評価式が２つもあると、どちらを信用すべきかわからず、困ったものである。