お前らに質問（１２月０３日 定積分） [お前らに質問]
お前らに質問（１２月０３日 定積分）
お前ら、次の問題を解くにゃ。
問題 f(x)が[a,b]でC¹級（f(x)の導関数f'(x)が[a,b]で連続）であるとき、次の関係が成り立つことを示せ。
よくわからないけれど、
この式から
となって、
ねこ騙し数学で取り上げた、台形公式の誤差を与える式みたいなものになり、何か意味深な式になるにゃ(^^ゞ。
ちょっと書いてみただけだケロ。深く考えてはいけないにゃ。
第４７回 定積分の近似計算 その１ [微分積分]
第４７回 定積分の近似計算 その１
§１ 矩形公式
f(x)は[a,b]で連続とするとき、定積分
または
と近似する方法を矩形法、または、矩形公式と呼ぶ。
f(x)が[a,b]でC¹級であるとき、定積分
を（１）、（２）で近似した誤差は、次式で与えられる。
【証明】
部分積分と、x−a≧0、b−x≧0なので、定積分の第１平均値の定理より
したがって、
（証明終）
定積分の近似値を求めるとき、矩形公式がそのまま用いられることはなく、
とし、閉区間[a,b]を
と小区間に分割し、小区間
に矩形公式（１）、（２）を用いた、次の複号矩形公式が用いられる。
特に、[a,b]をn個の小区間に等分割した場合、すなわち、
のとき、（３）、（４）式は次のようになる。
問 [0,1]を４等分し、（複号）矩形を用いて
の近似値を求めよ。
【解】
したがって、
（解答終）
（参考）
なお、複号矩形公式の誤差は、
とおくと、
で与えられる。
【証明】
ここで、
とおくと、
（証明終）
誤差の評価式は、[a,b]のn等分とするとき、
となるので、分割数を１０倍にすれば（複号）矩形公式の誤差は約1/10になる。
右の図は、
を（複号）矩形公式を用いて（近似）計算した結果を縦軸に誤差、横軸に分割数をとり示したものである。
分割数を１０倍にすると、誤差が1/10になっていることがわかる。
§２ 台形公式
f(x)は[a,b]で連続とするとき、定積分
と近似する方法を台形則、台形公式という。
を
で近似したときの誤差は次式で与えられる。
【証明】
に対して部分積分を用いると、
また、x∈[a,b]において、(b−x)(x−a)≧0なので、積分の第一平均値の定理より
これを代入すると、
（証明終）
閉区間[a,b]をn等分し、
とおき、各区間に台形公式を適用すると、
となるので、
f(x)が[a,b]でC²級であるとき、複合台形公式の誤差は
と置いたとき
で与えられる。
したがって、[a,b]をn等分すると、
となるので、分割数nを１０倍にすると、台形公式の誤差はおよそ1/10²になる。
右の図は、台形公式を用いて
を（近似）計算した結果を、横軸に分割数、縦軸に誤差をとり表したものである。
分割数を１０倍にすると、誤差が約1/100になっていることがわかる。
また、複号台形公式と複号矩形公式の間には
という関係が成立する。
問 [0,1]を４等分し、台形公式を用いて の近似値を求めよ。
【解】
したがって、
（解答終）
【別解】
§１の問より、
だから、
（別解終）
