お前らに質問（１２月０５日 定積分の近似値）の解答例 [お前らに質問]
お前らに質問（１２月０５日 定積分の近似値）の解答例
台形公式
問題 次の広義積分の近似値を台形公式を用いて求めよ。
【解答例】
とおくと、x=0にはt=0、x=∞にはt=1（正確にはt=1−0）が対応する。
また、
となるので、
そこで、
とおく。
[0,1]を４等分した分点0.1/4,1/2,3/4,1における被積分関数f(t)の値は
となるので、台形公式より
よって、
（解答例終）
なお、この広義積分の値は、
したがって、絶対誤差は約0.0208、相対誤差は0.013=1.3％で計算できていることがわかる。
分割数nを１０倍のn=４０にすると、絶対誤差は0.000208となり、誤差はn=4のときの1/10²=1/100になることがわかる。台形公式の誤差の程度はO(1/n²)だから、nを10倍にすると、誤差は1/10²=1/100になるんだケロよ。
お仕置き問題 次の広義積分の近似値を台形公式を用いて求めよ。
【解答１】
とおくと、x=0にはt=0、x=∞にはt=1（正確にはt=1−0）が対応する。
また、
となるので、
そこで、
とおき、[0,1]を４等分した分点0.1/4,1/2,3/4,1における被積分関数f(t)の値を求めると
よって、台形公式より
したがって、
（解答１終）
【解答２】
とおくと、x=0にはθ=0、x=∞にはθ=π/2が対応し、
なので、
そこで、
とおくケロ。
[0,π/2]を４等分した分点0.π/8,π/4,3π/8,π/2における被積分関数f(t)の値を求めると
よって、台形公式より
（解答２終）
ところで、
だから、解答例１の誤差は0.0109、解答例２の誤差は0.0253なので、解答例１による方法のほうが、精度よく計算できていることがわかる。
同じ分割数に対して、台形公式を使って定積分の近似値を求めているはずなのに、計算精度が違う。
これは何故ですか。
この理由を、お前らは考えるにゃ。
念のため、
（参考）
素性のいい（半）無限積分の近似値は、このように、分割数が少なくても、台形公式などを使って、意外に正確な値を求めることができたりする。
などは、問題、お仕置き問題のように変数変換することなく、
と考え、右辺の積分区間[0,4]を５等分し、台形公式を用いてその近似値を求めると、ほとんど一致してしまうのであった。
仰天の事実！！
これらの計算は、ネムネコが３年前に作ったスクリプトで計算しているにゃ。
http://nemneko.blogspot.com/2016/11/blog-post_14.html
それはそれとして、ネムネコが考えるに、
数値計算屋のddt³さんが、きっと、これに関係する記事を投稿してくれると思うので、楽しみにして待つにゃ。
