第４９回 定積分の応用 面積

第４９回　定積分の応用　面積

 

 

関数y=f(x)が閉区間[a,b]で連続、かつ、f(x)≧0とする。このとき、曲線y=f(x)、直線x=a、x=bとx軸で囲まれた部分の面積Sについて考える。

[a,b]の分割を

　　

とし、小区間のf(x)の最大値、最小値を、さらに、曲線y=f(x)≧0と２つの直線とx軸に囲まれた部分の面積をとすると、だから、

　　

だから、

　　

また、f(x)は[a,b]で連続なので積分可能だから、リーマン和の定義から、

　　

したがって、

　　

である。

 

 

 

 

同様に、関数x=g(y)が閉区間[c,d]で連続、かつ、g(x)≧0とするとき、曲線x=g(y)、直線y=c、y=bとy軸で囲まれた面積Sは

　　

である。

 

問１　次の曲線とx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ。

 

【解】

曲線とx軸で囲まれた面積をSとする。

 

（１）　y=sin xは閉区間[0,π]でy≧0なので、

　　

 

（２）　とx軸都の交点のx座標を求めると、x=0、x=1。また、[0,1]でy≧0なので

　　

とおき、置換積分を適用すると、x=1−t²、dx=−2tdtだから、

　　

（解答終）

 

 

問２　次の問に答えよ。

（１）　楕円の囲む面積を求めよ。

（２）　アステロイドの囲む面積を求めよ。

【解】

（１）　求める面積は第１象限の部分の面積の４倍。

第１象限ではy≧0だから

　　

よって、求める面積Sは

　　

とおくと、だから、

　　

特に、a=b>0であるとき、

　　

 

（２）　求めるべき面積は第１象限の部分の４倍。

第１象限ではy≧0だから

　　

よって、求める面積Sは

　　

とおくと、

　　

から、

　　

さて、

　　

だから、

　　

（解答終）

 

 

問３　次の曲線によって囲まれた面積を求めよ（a>0）。

（１）　サイクロイドとx軸

（２）　アステロイド

【解】

（１）　求める面積はで与えられる。だから

　　

 

 

（２）　求める面積は第１象限の部分の４倍なので。

また、だから、

　　

（解答終）

 

なお、（２）では、

　　

を使っている。

 

 

定理　（２曲線で囲まれた部分の面積）

閉区間[a,b]において、f(x)、g(x)は連続で、かつ、f(x)≧g(x)であるとき、２曲線y=f(x)、y=g(x)と、２直線x=a、x=bで囲まれた部分の面積Sは

　　

【証明】

[a,b]において、f(x)≧0、g(x)≧0とする。

このとき、曲線y=f(x)と２直線x=a、x=b、x軸に囲まれた部分の面積は

　　

曲線y=g(x)と２直線x=a、x=b、x軸に囲まれた部分の面積は

　　

であるから、

　　

[a,b]において、f(x)≧0かつg(x)≧0でないとき、適当な定数cを加えると、[a,b]においてy=f(x)+c≧0、y=g(x)+c≧0とすることができる。y=f(x)とy=g(x)で囲まれた部分の面積は、y軸の正の方向に平行移動しても、その値は変わらない。

したがって、

　　

（証明終）

 

 

問４　次の面積を求めよ。

（１）　２つのy=2x²−7x+8、y=−x²+5x−1で囲まれた面積

（２）　曲線y²=xと直線y=x−2とで囲まれた面積

【解】

（１）　y=2x²−7x+8とy=−x²+5x−1の交点のx座標は、

　　

より、x=1、x=3。

したがって、求める面積は

　　

 

 

（２）　方程式y²=xとy=x−2からxを消去すると、

　　

したがって、y²=xとy=x−2の交点のy座標はy=−1、y=2。

よって、曲線x=y²と直線x=y+2とで囲まれた面積は

　　

（解答終）

 

（２）は、y²=xをyについてy=±√xと解いて、

　　

と面積を求めることができるが、こうすると計算が少し大変。

 

また、公式（？）

　　

を使うと、定積分を計算することなく

　　

と解くこともできる。