数列の極限その２ [微分積分]
数列の極限その２
§２ 部分列
φを
からへの狭義単調増加関数（n₁<n₂ならばφ(n₁)<φ(n₂))とする。数列
が与えられたとき、数列
を数列の部分列という。
定理８ （部分列の収束）
収束する数列の部分列はの極限値に収束する。
すなわち、
【証明】
数列の極限値をαとすると、任意の正数εに対して、ある自然数Nがあって、
である。
φ(n)≧nなので、
よって、収束する数列の部分列はの極限値に収束する。
（証明終）
定理９ （Boltano-Weiestrassの定理）
有界な数列は、収束する部分列をもつ。
【証明】
数列は有界とすると、ある実数m₁とM₁が存在し、
である。
ここで、
とおくと、閉区間[m₁,c₁]、[c₁,M₁]を作ると、少なくともどちらか一方に無数の
が存在する。
もし、[m₁,c₁]に無数のが存在すれば、
そうでないとき、
と置く。
以下、同様な操作をし、
とすると、
を構成する。
すると、
であるから、
したがって、
とおくと、カントールの区間縮小法（定理７）を満たしており、ある実数cが存在し、
各区間
には無数の
の項が含まれていたから、自然数
を項とする狭義単調増加数列を、各自然数kに対して
となるように選ぶことができる。
このとき、
であるから、ハサミ打ちの定理より
（証明終）
§３ コーシー列
数列が任意の正数εに対して、ある自然数Nが存在し、n≧N、m≧Nを満たす任意の自然数m、nに対して
が成り立つとき、はコーシー列であるという。
定理１０ （コーシー列の有界性）
コーシー列は有界である。
【証明】
数列はコーシー列であるとする。ε=1とすれば、ある自然数Nが存在し、
となる。
m=Nとすると、
となるから、
そこで、
とおけば、任意の自然数nに対して、
よって、数列は有界である。
（証明終）
定理１１ （コーシーの収束条件）
数列が収束するための必要十分条件は、コーシー列であることである。
【証明】
数列が実数αに収束するとする。
任意の正数εに対して、ある自然数Nがあって、
が成り立つ。
したがって、m≧N、n≧Nならば、
となり、はコーシー列である。
逆に、がコーシー列であるとする。
数列は、コーシー列なので有界だからBoltzano-Weirstrassの定理より、収束する部分列をもつ。
ε>0を任意の正数とする。はコーシー列なので、ある自然数N₁が存在して、
が成立する。
また、ある自然数Kが存在して、
が成り立つ。
ここで、自然数k₀をk₀≧Kかつ
を満たすように１つに固定し、N=N₁とおけば、
よって、はαに収束する。
（証明終）
