Γ(1/2)の値を求める

Γ(1/2)の値を求める

 

 

ガンマ関数

　　

nが自然数のとき、ガンマ関数の値は

　　

となるが、これだけでは、応用上、何かと不便なので、ガンマ関数の値

　　

を求めることにする。

 

ガンマ関数の定義式（１）より、

　　

x=t²とし置換積分すると、x=0にはt=0、x=∞にはt=∞が対応し、また、だから、

 　　

となるので、これは広義積分

　　

の値を求める問題に帰着することができ、

　　

になる。

 

２重積分の広義積分を用いると、

　　

であるから、

　　

x=rcosθ、y=rsinθと置き、極座標変換すると

　　

となるので、

　　

したがって、

　　

と求めることができる。

 

なのですが、

以下、

前回、証明したウォリスの公式を

　　

を用いて、Γ(1/2)=√πを求める方法を紹介することにする。

 

 

問題　を次の順に示せ。

【解】

（１）　x≧0とし、0≦t≦xとすると、は減少関数だから、

　　

したがって、

　　

左辺と中辺より、

　　

中辺と右辺より

　　

したがって、

　　

 

（２）　x=√ntとし、置換積分すると、dx=√ndtだから

　　

 

（３）　（１）より

　　

したがって、

　　

t=tanθとおくと、

　　

また、

　　

なので、

　　

また、nが偶数のとき

　　

だから、

　　

 

（４）　だから、

　　

また、（１）より

　　

したがって、

　　

t=sinθと置き、置換積分すると、dt=cosθdθだから、

　　

したがって、

　　

 

（５）　（３）と（４）より

　　

また、ウォリスの公式より

　　

したがって、ハサミ打ちの定理より

　　

（解答終）

 

よって、

　　

 

ガンマ関数の公式

　　

を用いると、

　　

したがって、一般に、

　　

ただし、0!=1とする。