位相速度と群速度

今日、Tastenkastenさんからいただいたコメントの返信で大ポカをしてしまったので、反省と自身の知識の確認のために、波の速度に関して記事を書くことにするにゃ。

 

 

位相速度と群速度

 

 

角振動数ω、波数kの次の波がある。

　　

位相一定、つまり、

　　

の状態が移動するようすは

　　

であらわされるので、位相速度は

　　

になる。

 

次に、分散などがあり、波の振動数ωと波数kが少し異なる２つの波の合成について考えると、

　　

と、「うなり」をもった振動になる。

この振幅

　　

は

　　

という速さで伝わることになり、これが群速度である。

ωがkの関数であるとき、群速度は

　　

になる。

　――数学とは違って、Δk→0のときΔω/Δkがある１つの値に限りなく近づく、といった細かいことは言わない(^^ゞ――

 

以上のことをまとめると、

　　

 

したがって、角振動数ωが波数kに比例するとき、になる。

 

 

周波数、つまり、角振動数がすこしだけ異なる２つの波を合成すると、合成された波は下の図に示すように元の２つの波の（位相）速度と異なる波の速度、群速度を持つことになるんだケロ。

 

 

次に、位相速度と群速度の関係について考えることにする。

 

波長をλとすると、

　　

一方、群速度に関しては、

　　

という関係があるので、

　　

という関係式が得られる。

 

たしか、

　　

という関係式は、重要な式だったはず。

 

ネムネコが物理を勉強したのは大昔のことなので、このあたりの話はすっかり忘れてしまった。

たまにこうしたことを復習しないと、今回のTastenkastenさんのお便りへの返信のように、大嘘をつくことになってしまうんだにゃ(^^ゞ

勘違いや記憶違いは、誰にもあることだにゃ。だから、今回のことで、ネムネコを責めてはいけないと思うケロ。

 

そして、

ネムネコが考えるに、

光の位相速度が真空中の光の速さc=3×10⁵km/sを越えることがあること、この場合でも、「（真空中の）光よりも情報を早く伝えることはできない」とする（特殊）相対性理論の仮定（？）が破れないことについては、

ddt³さんが、きっと、実例をあげて、詳しく解説してくださるのではないだろうか(^^)

 

これを読むと即死！！

青ざめるネムネコ 解析力学

つい先ほど公開された「ハミルトン・ヤコビの方程式」にある式を見て、
　っん
と、一瞬、固まるネムネコ！！

次の式の３行目、４行目にある

　　

積分記号が抜けていたにゃ。

これを目にして、顔から、一瞬、血の気が引いてしまったケロ。
積分記号が抜けているだけならば、それを付け足せばいいだろう。
もっともな意見だけれど、手書きと違って、この追加は簡単じゃないんだケロよ。積分記号をただ付け足すだけだと、数式全体が変なふうになっちまうんだよ。積分記号のような特殊記号が入っている数式は、追加、修正が厄介なんだケロ。修正しているうちに、何が何だかわからなくなって、パニックを起こす（笑）。

おそらく、同じような間違いをどこかでやっているに違いない、と考え、過去の記事をざっと見てみたところ、

　　

では、最終行の第１項の総和記号Σが抜けていた(>_<)

ネムネコはネムネコ無謬神話を無意識下で信じているので、記事を書き上げたら数式のチェックなんてしないんだにゃ。ケアレスミスが多いことはよく知っているので、誤字脱字や日本語して表現がおかしいところなどを、記事の公開後にチェックし、修正することはあるのだけれど、数式はチェックしない。だから、こういうことが、時々、起こるんだにゃ。

てな訳で、数式の間違いを発見したヒトは、コメント欄に「や〜い、ネムネコ、ここ間違っている（笑）」と書いて、間違いを指摘するにゃ。

オレが恥を晒すのはいつものことなので恥を晒し続けるのはよしとしても、訪問者が間違っている部分を正しいと勘違いするとよくないので、お前ら、すぐに教えるにゃ。

約束だケロよ。

ネムネコは、数式を作成するとき、いつも、

%delta S = S_2 - S_1 = int_{ t_0 }^t ( L(q+%delta q , dot q + %delta dot q , t) -  L(q, dot q , t)) dt newline
"" = int_{ t_0 }^t sum from i ( {partial L} over {partial dot q_i} %delta q_i + {partial L} over {partial dot q_i}%delta dot q_i )dt newline
"" = int_{ t_0 }^t sum from i ( {partial L} over {partial q_i} dq_i + d over dt ({partial L} over {partial dot q_i} %delta q_i ) - d over dt ({partial L} over {partial dot q_i} )%delta q_i) dt newline
"" = int_{ t_0 }^t sum from i  ({partial L} over {partial q_i}  - d over dt ({partial L} over {partial dot q_i}))%delta q_i %delta t+  [sum from i{ {partial L } over {partial dot q_i} %delta q_i}]_{t_0}^t 

といったようなアブラカタブラを唱えているから、この詠唱が終了すると、式を見返す気になれないにゃ。

しかし、オレがこの間違いに気づくまで、お前らの中で誰一人としてこの間違いに気づかなかったとすれば、それはそれで大問題。版を重ね、そのたびに、数式や記述の間違いを訂正している教科書、参考書であっても、間違いは結構、あるものなんだから。まして、毎日のように、新しい数学関連の記事が公開され続ける「ねこ騙し数学」ならばなおのことだにゃ。新しい記事を毎日書き続けなければならないネムネコは、自分が過去に書いた記事を見直す時間的余裕なんてないんだから。

全部、お前らが悪いにゃ。

ハミルトン・ヤコビの方程式

ハミルトン・ヤコビの方程式

 

始点は同じだが終点が異なる２つの経路１、２があるとする。

経路１によって求められる作用をS₁、経路２によって求められる作用をS₂とする。

このとき作用の差は

　　

ラグランジュの方程式

　　

から、最終行の第１項の積分は０である。

またより、

　　

一般化運動量

　　

を用いると、

　　

 

今度は、始点と終点を固定し、終点に到達時刻が異なるものとする。

作用Sは

　　

だから、時刻ｔで微分すると、

　　

また、先の議論で作用Sは一般化座標qの関数でもあったので、

　　

を上の式に代入すると、

　　

ここで、Hはハミルトニアン、

　　

ですが、

　　

を用いてハミルトニアンを書き換えると、

　　

になるので、

　　

これをハミルトン・ヤコビの方程式という。

 

 

 

話を簡単にするために、自由度１の場合について考えるケロ。

このとき、ハミルトン・ヤコビの方程式は、

　　

になるにゃ。

で、量子力学の時間を含むシュレディンガーの方程式は、

　　

ここで、iは虚数単位、はプランク定数hを2πで割ったもの、つまり、

　　

すこし形が違うけれど、ハミルトン・ヤコビの方程式とシュレディンガーの方程式は似た形をしているのがわかるだろう。

シュレディンガーは、どうも、このハミルトン・ヤコビの方程式を参考に、有名なシュレディンガーの波動方程式を使ったらしいんだよね。

 

（デカルト直交座標以外の座標系における）運動方程式を導いて微分方程式を解くという実用的な観点からすると、ラグランジュの方程式で十分。ハミルトンの正準方程式、まして、ハミルトン・ヤコビの方程式から運動方程式を導き、その微分方程式を解くなんてことは、まず、することはない。だって、得られるのはニュートンの運動方程式（と同等なもの）なんだから、ラグランジュの方程式だけを知っていれば十分。

 

じゃぁ、何で、大学の理工系の学部で解析力学なんて小難しいものを教えるかといえば、そりゃ〜、量子力学と統計力学を学ぶためだにゃ。解析力学で使う手法、用語が量子力学や統計力学で出てくるので、解析力学は避けて通れない関門、難関なんだにゃ。そして、多くの学生が解析力学で討ち死にするのであった（笑）。

 

統計力学で必要となるリュービルの定理は紹介していないけれど、ちょっと進んだ微分積分、解析の応用として、解析力学を取り上げてみたにゃ。