ちょっとだけ数学と物理の話 [ねこ騙し物理]
涼しくなるまで数学の記事は書くまいと決めているのですが、少しだけ数学というよりも物理学の話。
比熱や密度、熱伝導率が変わらない場合、２次元の熱伝達の方程式は次のようになる。
uはｘ方向の流体の速度、vはy方向の流速、Tは流体の温度で、κは温度拡散率。
対して、湿度や流体に溶けている物質の濃度Cの支配方程式は次のようになる。
Dは物質拡散係数とかなんとか言うんじゃなかったかな(^^ゞ
――正式な名称を知っているヒトは教えてm(__)m――
（１）と（２）を見ると同じ微分方程式の形で、温度Tを濃度Cに、κをDに変える、（１）式は（２）式に、濃度Cを温度Tに、Dをκに変えると、（２）式は（１）式になるにゃ。
だから、温度（熱）の伝わり方と物質の移動はよく似ていて、この両者にはアナロジーが成立するんだケロ。
だって、現象を支配する方程式が同じ（形）なんだもの、この２つの現象は似てなければおかしい。
（１）、（２）はベクトルを使って形式的に書くと、
テンソル的に書くと
デカルト直交座標から極座標（球座標）に変換するとき、（３）や（４）式は使えないので、だから形式的でありテンソル的（笑）。
気温３８℃で扇風機をつけると涼しくなるか、暑くなるケロか？
という問の答（？）の中で、温度の差と湿度の差（水蒸気の濃度の差）が同じような役割をする、この両者にはアナロジーが成立すると書いたのは、こういうことを踏まえているんだケロ。
この言葉は感覚的に書いたわけじゃないですよ。
まったく別の現象に見えるけれど、物理現象には実はこうしたアナロジーが成立するものが多い。
アナロジーからは離れるけれど、静電容量Cのコンデンサー、電気抵抗R、インダクタンス（リラクタンス？）Lのコイルの直列回路の微分方程式は次のようになる。
ここで、Iは電流。
仮に、C=1、R=1、L=1とすれば、（５）式は
となるね。
これは逆な見方をすれば、微分方程式（６）を解くかわりに、C=1、R=1、L=1のRLC回路の電流の変化を時刻tに対する変化を調べれば、微分方程式（６）を解いたことと同じことになる。
という微分方程式は、たとえば、R=3、L=1、C=1/2にして電気回路を組み立てて、電流の変化を調べれば、この微分方程式を解いたことになる。
このように、抵抗R、コイルのリアクタンスL、コンデンサーの静電容量Cをいろいろ組み合わせることによって、定数係数の微分方程式
の解を求めることができるんだにゃ。
学生時代のこの話（常微分方程式の電気回路を用いたアナログ解、アナログコンピュータの話）を知ったとき、「すげぇ」と感動したものだにゃ。
さらに交流電源を加えれば、
といった微分方程式さえ、微分積分を一切使うことなく、電気回路を組み立てることで解けてしまうんだから、「すげぇ」と思わないほうがどうかしていると思うにゃ。
お子さんの夏休みの自由研究の課題でお困りの方は、このテーマ、いかがですか(^^)
ルンゲ・クッタ法などを使って数値的に解くより、こっちのほうがずっと楽しいにゃ。そして、物理や数学（の微分方程式）を身近に感じられるにゃ。
そう思わないケロか？
