危険な暑さ 名古屋で40度近くに 熱中症に厳重警戒 NHK

危険な暑さ 東海では午前中に38度超えも 熱中症に厳重警戒 #nhk_news https://t.co/PhrH1CWDP8

— NHKニュース (@nhk_news) 2018年8月2日

ブラゲロの住む名古屋の最高気温は39.6℃だって。この暑さでブラゲロはきっと死んだに違いない。
週間天気予報によると、明日の名古屋は今日よりも更に暑くなりそうだね〜。いやぁ〜、大変だ。

https://goo.gl/RXjzNo

ネムネコが考えるに、少なくとも夏の名古屋はもうヒトの住める地ではないにゃ。マムシ以外の生き物は棲息不可能になっていると思うにゃ。

岐阜 多治見で40度２分 40度以上観測は先月23日以来 #nhk_news https://t.co/1wZaIJLk4C

— NHKニュース (@nhk_news) 2018年8月2日

北朝鮮で４０．７度観測　ソウルも猛暑、史上最高気温 https://t.co/umb5uTfNCy

— 朝日新聞(asahi shimbun） (@asahi) 2018年8月2日

しぶといブラゲロ・マムシはこれくらいの暑さでくたばったりしないだろうけれど、お前らは熱中症で死なないように気をつけるにゃ。

ところで、40℃を越す暑さって、いったい、どんな暑さなんだろうか？ 想像できないにゃ。

どうでもいいことだけれど、名古屋名物の「櫃（ひつ）まぶし」の「まぶし」は「マムシ」が語源だよね。
だ・か・ら、名古屋のヒトは、マムシを食べて、夏の暑さを乗り切ってに違いない(^^ゞ
鰻の蒲焼（まむし）を食べるより、毒蛇のマムシを食べたほうが精がつきそうだし。大体、「まむし」じゃ〜、名古屋の夏は乗り越えられそうにないケロ。
名古屋人が毒蛇のマムシを食べることはわかっているにゃ。その証拠として次の記事を挙げておくにゃ。

　マムシを食う
　http://mikihito.waraidama.jp/e4020215.html

この記事によると、絶滅危惧種に指定してもいいほど愛知県にマムシがいないそうだにゃ。これは愛知県民ならびに名古屋人が絶滅寸前までマムシを食い尽くしたために違いない！！

色々な（？）ラグランジュ方程式

８．色々な（？）ラグランジュ方程式

 

　ランダウ力学では、ダランベールの原理も仮想仕事の原理も座標変換の話も出てきません。だって最初から「系の配置を一意に決定する独立な量の個数を自由度という」ですから。ランダウ先生にとって、幾何学的拘束条件がもしあったら、拘束条件を自明に含む座標系に移るのは言うまでもない事なんです（じっさい言わないし(^^;)）。「問題に適切な座標をつかうことができ、系の配置をきめる任意のs個の量(q_j)を一般化座標、その導関数(q_j')を一般化速度という」です。

　こうしてダランベールの原理も仮想仕事の原理も一顧だにされません。次に座標変換に目を向けます。じつはラグランジュ方程式は、時間も含んだ任意の座標変換に対して形が不変だという、驚くべき性質を持っています。現在ではダランベールや仮想仕事の原理よりも、物理法則の不変性との関連でこちらの方が重視されます。なのでランダウ先生の方針は確かに妥当なんです（妥当なんですけど・・・(^^;)）。

　ところがこれも、ランダウ力学では自明になります。何故ならラグラジアンは最初から任意の座標で書かれおり、それに変分原理（最小作用の原理）を適用した結果がラグランジュ方程式なんですから、任意の座標でその方程式が同じ形を持つのは当然です。

 

　一方ゴールド本では、ダランベールの原理→仮想変位・仮想仕事の原理→座標変換→ラグランジュ方程式と、地道な過程をたどります。じつは上記流れでも、座標変換に対する不変性は自明なんです。

　上記流れを要約すれば、普通の運動方程式(4)から座標変換でラグランジュ方程式(16)を導いたという事になります。デカルト座標(x_k)から一般化座標(q_j)への座標変換を、(x_k)→(q_j)で表します。ここで一般化座標(q_j)から別の一般化座標(ξ_j)への座標変換(q_j)→(ξ_j)を考えれば、合成変換(x_k)→(q_j)→(ξ_j)が可能ですが、これは(x_k)から(ξ_j)への直接の座標変換(x_k)→(ξ_j)を定義します。

　もし(x_k)→(q_j)で(16)が出てくるなら、(x_k)→(ξ_j)では(16)の(q_j)を(ξ_j)に変えたものが出てくるはずです。よってラグランジュ方程式は座標変換に対して不変です。しかしゴールドスタイン先生は、そんな手抜き（？）はしません。仮想仕事の原理・座標変換でラグランジュ方程式をいったん導いておいてから変分原理の説明に移り、ランダウ先生と同じ事を言います。

　余談ですが、具体的な成分ごとの座標変換式（偏微分の嵐！）を書き下し、それを(q_j)表現のラグランジュ方程式に代入して(ξ_j)表現によるラグランジュ方程式を出してみるという作業は、一回くらいはやる事をお奨めします。

　原理的にはそうなるはずだと思う事と、具体的な計算過程をつぶさに眺めた後とでは、雲泥の自信の差になります。自分にはそういう背景があるので、じつは上記流れでも不変性は自明などと、抜け抜けとほざける訳です（どこかで言ったような話だな(^^;)）。というか、ゴリ押しの座標変換計算をし終わった後で、合成変換に気づいた次第。バカだね(^^;)。

 

　今度は、変分手法を比較してみますか。変分での学生の一番の引っかかり処は、やはり変分δq(t)の解釈だと思います。数学的には、連続関数の関数空間に関数の間の距離を定義し、積分値Ｓを距離α（非負の実数）の関数ととらえ、通常の微積分で極値問題を解くというのがすじです。距離関数をdとすれば、

　　d(q(t)，q(t))＝0

　　d(q(t)＋δq(t)，q(t))＝α

などとなるので、

　　

などとみなし（なんの事やらわからない？。・・・まぁ～まぁ～(^^;)）、

　　

をつくってやるという作業になります。具体的計算に持ち込むと、さっきと同じになるのですが、でも物理のテキストでそんなこたぁ～できませんから。そもそも関数空間って何さ？、距離って何さ？なんてやってられませんから！（←ギター侍か？）。

　そこで普通のテキストでは確証もないくせに（←本当か？）、「Ｓがqで極値を取るんだから任意のδqでδＳが0になるのは当然だよねぇ～！。ちなみにδqをqの変分っていうからねぇ～！。微分じゃないよぉ～！（どこが？）」ってやってる気がします(^^;)。

　一方ランダウ先生には、そんなの当然だ！という確信があります。「考えればわかる。考えない奴は、ここに来るな！（・・・そんな過激な(^^;)）」。

　ゴールドスタイン先生は関数空間での距離αを、変分δqのパラメータ付けだと学生に解釈させようと努力します。

　　η(t，0)＝0

　　d(q(t)＋η(t，α)，q(t))＝α

という意味です。しかし先生はそんな事をおくびにも出しません。学生に負担をかけたくないからです。「考えなくても良いからね。読めばわかるよ（工学っぽっくっていいなぁ～(^^)）」。結果として、

　　

となり変分は、

　　

で定義される事になります。これなら(9)以降の話もなんとかなりそうです。

 

　そんなこんなでラグランジュ方程式に一応の決着が着くまで、ランダウ本ではたった3ページなのに対し、ゴールド本では色々な実例も紹介したりして、じつに51ページにも及ぶ紙数を消費します。しかしそれがゴールド本の真価です！。原理的にはそうなるはずだと思う事と、具体的な計算過程をつぶさに眺めた後とでは雲泥の自信の差になる、からです。

 

　さぁ～、どのタイプを選ぶかはあなた次第(^^)。

 

 

９．仮想仕事の原理と変分法

 

　けっきょく(14)のδq_jの係数部分は(16)でそれぞれ0になってしまう訳ですから、(14)の内容を各時刻tで取り出した形、

　　

も成り立ちます。

　逆に(17)が成り立つとすれば、各時刻tでも変分δq_jはそれぞれ勝手に取れるので、(17)を(δq_j)に関する恒等式とみなしてラグランジュ方程式を出せます。これってこの前の仮想仕事の原理と同じではないですか？。確認します。

　［ラグランジュ方程式］の回で、拘束力を消去し終わった仮想仕事の原理を座標変換した式(19)は、

　　

という形をしていました。［ラグランジュ方程式］の回では、(18)を(δq_j)に関する恒等式とみなし、δq_jの係数部分だけをそれぞれ取り出し、そこに形式的な微分規則（前回の式(22)，(23)）、

　　

を訳もなく導入して、(18)の係数部分を強引に、ラグラジアンLを微分した形(16)へ変形したのでした。でもその変形は、(18)の形そのままでもできます。その結果が(17)になるのは明らかです。そして(17)は、積分(14)の内容を各時刻tで取り出したものでした。

 

　という事は仮想仕事の原理とは、変分法の微分形だったのです。仮想変位δq_jとは、関数q_j(t)の変分δq_j(t)だったのです。

　また(19)，(20)の意図は、「(q_j)と(q_j')があたかも無関係な変数であるかのように、x_k'＝x_k'((q_j)，(q_j')，t)であるとみなせ！」という事でした。似たようなものが今回にもあります。「qとq'を無関係な変数とみなした、多変数関数L(q，q'，t)の全微分として・・・」というくだりが(9)の直後にあります。

　前回ではqとq'を無関係な変数とみなして微分するのは、ラグラジアンの形を導くためでした。前回は不便な形ではありましたが、（今回の）式(18)のδq_jの係数という形で、ラグランジュ方程式の方が先にあったんですよ。

　今回はラグラジアンの方が先にあり、ラグラジアンから変分計算でラグランジュ方程式を導くために、qとq'を無関係な変数とみなした微分が必要になりました。これで形式的な微分規則、今回の式(19)，(20)がなぜ必要になったかの謎がわかります。

　だから、ラグランジュ先生は絶対に変分法を知ってたんですって！。変分計算の逆をやって、最初からラグランジュ方程式(18)を、ラグラジアンの形に戻す事が目的だったんですって！。だからこその式(19)，(20)の訳もない導入なんですよ。恐らくは(^^;)。

 

　だったら何故ラグランジュ先生は、変分原理に（最小作用の原理に）基づいた、解析力学の定式化をやってくれなかったのだろう？。もしそうであったら、解析力学の中途半端な講義やテキストに悩まされる事なく、オイラ達はランダウ先生の高みにまで（何ぁ～んにも考える事なく(^^)）、一気に昇れたかも知れないのに。

 

　山本ボンによれば変分原理については当時、色々と神学的・形而上学的・目的論的・哲学的意味付けがなされていたんですって。またその影響でフェルマーの原理はOKなんですが、マーペルチュイの最小作用原理とか、有象無象の「怪しい最小原理」が百花繚乱（？）していたのも、当時の事実です。

　今風に言えば、不確定性原理が不当に一般化され、さまざまな哲学的・宗教的結論に不当に引用されるのと同じような状況だと思われます。だから近代的なラグランジュ先生は思ったんですよ。

 

「変分原理でも行けるんだけどね。でも色々と訳わからん奴らがグチャグチャで議論にもならない支離滅裂なイチャモンを、グチャグチャグチャグチャと延々とふっかけてくるから、ここはさっぱりと従来法で行くか」

 

　ラグランジュ先生は確信犯的に、ダランベールの原理と仮想仕事の原理を採用したと、自分は憶測します。正しいかどうかわかりませんが(^^;)。

　最小作用の原理が力学の基礎原理となるのは結局、電磁気学と力学を同一原理で捉えようとした18世紀のハミルトンまで待たなければなりません。それで最小作用の原理は、ハミルトンの原理と呼ばれる時もあります。

 

（執筆：ddt³さん）