ちょっとした呟き [ひとこと言わねば]
今日、ブログにアップした循環座標と保存則という記事は、結構、重要だと思うけど、何故か、あまり読まれていない。
なぜ、運動量保存則、角運動量保存則、エネルギー保存則が成り立つのか、
この理由を循環座標という観点から説明しているのですが・・・。
そして、空間の一様性と等方性、時間の一様性という話が絡んでいるかもしれないのになぁ〜。
のみならず、運動量と位置（座標）、エネルギーと時間には、切っても切れない深い関係があるということを述べており、この話は量子力学につながってゆくかもしれない。
だって、
運動量と位置、エネルギーと時間という組み合わせ、カップリングは、量子力学の不確定性原理
にも出てくるんだから。
まぁ、それはそれとして、数学では極座標（r,θ）を
または、
で定義するのですが、物理では極座標を(r、φ）とし、
で定義するんだよね。
θとφという、使用するギリシア文字の違いなのだけれど、物理屋さんは、何故か、θではなくφを使いたがる。
とくに合理的な理由はないと思うのだけれど、何故、物理屋さんはθではなくφを使うんだろう？
厨ニ病なのだろうか？
使用する記号やギリシア文字が数学と物理で異なっていると、何かと面倒なんだよ。物理屋さんは、いつまでもわがままを言っていないで、そろそろサトリを開き、数学の使用文字、記号にならってほしいものである。読むヒトに無用な混乱、誤解を招くだけだから・・・。
この理由を知っているヒトがいたら、教えてm(__)m
今日のアニソン、「お金がないっ」から『Romance way』 [今日のアニソン]
ストリーの方も、借金の方で・・・という月次のもので、「少年メイドクーロ君」と変わりはしない・・・。
循環座標と保存則 [ねこ騙し物理]
循環座標と保存則
を一般化運動量という。
ラグランジアン
に座標
が含まれていないとき、この座標を循環座標という。このとき、ラグランジュの方程式は
となり、一般化運動量
は、時間によらず一定で、保存される。
例１ ３次元空間内の自由運動
このとき、運動エネルギーKとポテンシャルエネルギーUは、
なので、ラグランジアンは
ここで、mは質点の質量。
一般化座標q₁=x、q₂=y、q₃=zとおけば、
となり、ラグランジアンは
を含んでおらず、は循環座標になる。
したがって、
となり、運動量は保存される。
例２ 平面中心力場の運動
このとき、運動エネルギーKとポテンシャルエネルギーUは
したがって、
ラグランジアンLにθは含まれないので、θは循環座標。
したがって、一般化運動量
は
【余談】
θ方向の速度成分を
とすると、
となるので、
となり、一般化運動量は角運動量。
したがって、この場合、いわゆる運動量ではなく、角運動量が保存される。
は面積速度なので、この場合、面積速度も保存される(^^ゞ。
ケプラーの法則で出てくる面積速度一定の法則（？）は、角運動量保存の法則のことだから、このことは言わずもがな。
ところで、この平面上に２次元のデカルト直交座標系を設定すると、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーは次のようになる。
したがって、ラグランジアンは
となり、循環座標は存在せず、一般化運動量
は保存されない。
なんだか、話が矛盾しているような矛盾してないような・・・。
お前ら、俺が納得するような説明をコメント欄に書いて、送信するにゃ。
問 
を極座標に変換することによって、
を導け。
【解】
xy座標と極座標の間には、x=rcosθ、y=rsinθという関係がある。これをtで微分すると、
したがって、
よって、
（解答終）
また、
という関係があるので、
よって、平面上の中心力場の極座標で表されたラグランジアンは
運動エネルギーK、ポテンシャルエネルギーU、そして、ラグランジアンL=K−Uはスカラー（大きさだけをもつ量）だからこのように簡単に変換できるってわけ。
例３ ラグランジアンに時刻tを陽に含まない場合
この場合、
であるので、
したがって、
また、
だから、
デカルト直交座標の場合、
となるので、これを（６）式に代入すると、
よって、（力学的）エネルギーが保存される。
例１、例２もラグランジアンに時刻tが陽に含まれていないので、力学的エネルギーは保存されている。
次回に登場することになるが、（６）式の左辺
はハミルトニアン！！
