第３８回 定積分の計算２ 置換積分 [微分積分]
第３８回 定積分の計算２ 置換積分
定理 （置換積分）
関数f(x)は区間Iで連続、
とする。x=φ(t)が区間JでC¹級であって、
かたa=φ(α)、b=φ(β)ならば
【証明】
f(x)の原始関数をF(x)とすると、
この右辺はJで連続だから積分可能。
よって、
（証明終）
問１ 次の値を求めよ。
【解】
（１） t=3x²+4とおくと、x=0にはt=4、x=2にはt=16が対応し、dt=6xdxだから、
（２） x=sintとおくと、t=0のときx=0、t=π/2のときx=1で、
また、dx=costdtだから、
（３） 2x−x²=1−(x−1)²だからx−1=sintとおくと、t=−π/2のときx=0、t=0のときx=1で、
また、dx=costdtだから、
（４） x=tantとおくと、t=0のときx=0、t=π/4のときx=1で、
よって
（５） 
とおくと、x=0のときt=0、x=π/2のときt=1で、
だから、
（６） 
とおくと、x=0のときt=0、x=π/2のときt=1で、
だから、
（解答終）
もちろん、（４）は
と計算してよい。
問２ f(x)を[−a,a]で連続とする。
f(x)が奇関数（f(−x)=−f(x)）ならば
f(x)が偶関数(f(−x)=f(x)ならば
であることを示せ。
【解】
x=−tとおくと、x=−aのときt=a、x=0のときt=0が対応し、dx=−dtだから
f(x)が奇関数のとき
だから、①に代入すると、
f(x)が偶関数のとき
これを①の右辺に代入すると
（解答終）
問３ 
であることを示して、次の定積分の値を求めよ。
【解】
x=π−tとおくと、
（１）
（２）
（３）
t=cosxとおくと
したがって、
（解答終）
問４ 
であることを示し、
の値を求めよ。
【解】
x=π/2−tとおくと、
である。
n≧2のとき
したがって、
nが偶数のとき
nが奇数のとき
（解答終）
お前らに質問 （１０月１３日 定積分） [お前らに質問]
お前らに質問 （１０月１３日 定積分）
問題 次の定積分の値を求めよ。
この定積分は、高校数学以来、おなじみの定積分で、x=sin θとおき、次のように置換し、定積分の値を求めるのが定番。
x=sinθとおくと、x=0にはθ=0、x=1にはθ=π/2が対応し、
となるので、
図形的にいうと、は、半径1の円の1/4円の面積に等しいので、
としてもよい。（下図参照）
【別解（？）】
部分積分すると、
ここで、積分定数をさり気なく加えると、
という不定積分の公式（？）を導くことができる。
したがって、
（別解終）
では、お前らに質問！！
この別解（？）は正しいケロか？
わざわざ、「正しいか」と訊くくらいだから、どこかに致命的な欠陥があるに違いない！！
お前らは、致命的な欠陥を指摘できるケロかね〜。
関数には定義域というものがある！！
ネムネコ、風邪をひき、絶不調！！ [お前らに質問]
咳は出るし、頭や喉、さらに、何故か、左耳まで痛くなって、体調が最悪なんだケロ。
数学の記事を書かねばと思うものの、集中力、思考力が著しく低下していて、数学の記事なんて書けるような状況にないにゃ。
だから、この３連休は、数学の記事をブログにアップできないにゃ。
というわけで、
風（邪）くらいに負けられないので、お前らに問題を一つ。
問題 次の広義積分の収束・発散を判定せよ。
ちなみに、
だから、広義積分
は発散する。
また、
だから、
ヒントは出してやったぞ。
ネムネコ・ファミリーには、ブラゲロ・マムシがいるけど、ブラゲロ・マムシに噛まれると、死んじまうからな〜。
お前らに質問（１０月１０日 定積分の計算の追加問題）の解答例 [お前らに質問]
お前らに質問（１０月１０日 定積分の計算の追加問題）の解答例
問１ a<bとする。部分積分を用いて、次の定積分の値を求めよ。
【解】
（解答終）
【別解】
とおくと、
（別解終）
問２ 次の定積分の値を求めよ。
【解】
（解答終）
お前らに質問 （１０月１０日 部分積分） [お前らに質問]
お前らに質問 （１０月１０日 部分積分）
ちょっとした、部分積分を用いた定積分の計算問題。
難しくはないはずなので、お前ら、解くにゃ。
問１ a<bとする。部分積分を用いて、次の定積分の値を求めよ。
問１は、t=b−xと置き、
などと置換積分で計算してもいいけれど・・・。
Β（べーた）関数
を使う方法もあるけれど、でも、お前らは（１）〜（３）をΒ関数の形に変換できなそうだし(^^ゞ。
問２ 次の定積分の値を求めよ。
普通の微分積分の教科書にはsin x 、cos xの逆関数の不定積分
は出てないはずだから、
とし、あとは、自分で考えるにゃ。
ちなみに、逆正弦関数、逆予言関数の微分は
だにゃ。
何故ならば、
y=sin xとおくと、
y=cosxとおくと
ゆえに、
となり、yをxにすり替えると、逆正弦関数、逆余弦関数の微分公式を得ることができる。
第３７回 定積分の計算 部分積分 [微分積分]
第３７回 定積分の計算 部分積分
定理 （部分積分）
f(x)、g(x)が[a,b]でC¹級ならば、
【証明】
したがって、
（証明終）
問１ 次の値を求めよ。
【解】
（解答終）
問２ 次の定積分の値を求めよ。
【解】
とおく。
したがって、
これをI、Jについて解くと
（解答終）
【別解】
（別解終）
問３ 
とするとき、次の問に答えよ。
（１） 次のことを示せ。
（２） 
を求めよ。
【解】
（１）
（２） 
だから、
（解答終）
類題 
とするとき、
が成り立つことを示し、これを利用して、次の値を求めよ。
【解】
だから、
（解答終）
問４ 次の値を求めよ。
【解】
（解答終）
問５ 
とすると、
であることを示し、これを利用して、
の値を求めよ。
【解】
とおくと、
n≧1のとき、
したがって、
（解答終）
お前らに質問の解答例（１０月７日 微分積分） [お前らに質問]
お前らに質問の解答例（１０月７日 微分積分）
お前らは、次の不等式をどうやって証明するケロか。
問題
p、qを
である正の実数とする。
a>0、b>0ならば
であることを示せ。
【解】
したがって、p>1、q>1。
とおき、微分すると
p>1だから
|
x |
0 |
・・・ |
|
・・・ |
|
f'(x) |
|
− |
0 |
＋ |
|
f(x) |
|
減少 |
極小 |
増加 |
したがって、
のときに、f(x)は極小かつ最小。
ゆえに、
ところで、
だから、これを①に代入すると
x=a>0を代入すると
（別解終）
【別解】
とおくと、
なので、f(x)は下に凸な関数。
また、仮定より
だから、
ここで、
とおくと、
（別解終）
【別解２】
f(x)=log xとおくと、f''(x)=−1/x²<0だから、f(x)=log xは上に凸。
よって、
f(x)=log xは（狭義）単調増加なので、
（別解２終）
お前らに質問（１０月７日 微分積分） [お前らに質問]
お前らに質問（１０月７日 微分積分）
お前らは、次の不等式をどうやって証明するケロか。
問題
p、qを
である正の実数とする。
a>0、b>0ならば
であることを示せ。
こころ優しいネムネコは、例によって、ヒントを出してやるにゃ。
【ヒント】
とおき、微分して、f(x)の増減を調べれば・・・。
ダサい方法かもしれないが、この方法は確実だし、閃きや難しい前提知識を必要としない。
電波を必要しないにゃ。
お前らに質問（１０月４日 定積分の不等式）の解答とペナルティー問題 [お前らに質問]
お前らに質問（１０月４日 定積分の不等式）の解答とペナルティー問題
問題 関数f(x)は有界閉区間[a,b]で連続、かつ、任意のx∈[a,b]に対してf(x)>0であるとするとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
ただし、a<bとする。
【解答例】
λを実数とすると、f(x)>0なので、
f(x)>0なので
であり、かつ、任意の実数λについて①は成り立つので、
（解答終）
念のため
さらに、
A>0のとき、任意の実数λに対して
であるための必要十分な条件は
できなかったヒトは、次の問題を解くように。
ペナルティー問題
f(x)、g(x)は区間a≦x≦bにおいて連続な関数とし、かつ、
とする。
（１） 
であることを示せ。
（２） 区間a≦x≦bにおいて、f(x)>0ならば、
であることを示せ。
（１）を証明できると、F(x)はa≦x≦bで（広義）単調増加となり、これから
（２）は、（積分版の）シュワルツの不等式！！
第３６回 微積分の基本定理 [微分積分]
第３６回 微積分の基本定理
f(x)が[a,b]で連続ならば、f(x)は[a,b]で積分可能である。
定理１ （積分の平均値定理）
f(x)が[a,b]で連続ならば、
を満たすξが存在する。
【証明】
f(x)が[a,b]で定数cのとき、
だから、
となり、a<ξ<bである、任意のξについて成り立つ。
f(x)が[a,b]で定数でないとき、f(x)は有界閉区間[a,b]で最小値mと最大値Mを持つ。
したがって、中間値の定理より
（証明終）
定理２
f(x)は区間Iで連続とする。定点
と任意の
に対し、
とおくと、F(x)はIの各点xで微分可能で、
【証明】
f(x)はIで連続だから、積分の平均値の定理より
となるθが存在する。
したがって、
（証明終）
定理３
f(x)を[a,b]で連続とする。F(x)がf(x)の原始関数、すなわち、
ならば、
【証明】
定理２より
はf(x)の原始関数の１つで、
したがって、
だから、
したがって、
（証明終）
問１ 次の定積分の値を求めよ。
【解】
（１） 
は
の原始関数なので、
（２）
（３）
m≠nのとき
m=nのとき、
（解答終）
問２ f(x)を[a,b]で連続な関数とするとき、次のことを示せ。
任意のx∈[a,b]に対して
ならば、
である。
【解】
の両辺を微分すると、
（解答終）
問３ 次の条件を満たす連続な関数f(x)を求めよ。
【解】
（１） 
は定数なので、
とおくと、
したがって、
よって、
（２） 両辺を微分すると、
両辺を積分すると
また、
だから、x=1を代入すると、
よって、
したがって、
（解答終）
問４ 次のことを示せ。
（１） f(x)が区間Iで連続、φ(x)が区間Jで微分可能であって、ならば、a∈Iと任意のx∈Iに対して、
（２） f(x)が実数全体の集合Rで連続であって、任意のx、h∈Rに対して
ならば、f(x)は定数値関数である。
【解】
（１） 
とおくと、
Fとφが微分可能であるから、Φは微分可能であって、
また、
だから、
（２） xを固定し、両辺をhで微分すると、
これが任意のhについて成り立つので、f(x)は定数値関数である。
特にh=−xとすれば、
（解答終）
