［行列式１．転移数と互換数］

［行列式１．転移数と互換数］

 

　ネコ先生に多大な御迷惑をおかけした「線形代数って何さ？」の中では、行列式も連立一次方程式の整備も全く無視して話を進めましたので、いつかは行列式と連立一次方程式の話をやるべきだとは思っていました。

　今回ネコ先生に「ベクトル3重積（外積編）」と「ベクトル3重積（内積・外積編）」をアップした頂きましたので、良い機会かな？と思って、行列式の話を書く事にしました。目標はラプラス展開とクラーメルの公式あたりです。

 

　ここでは行列Ａに対して（正方行列に限る）、その行列式をdet(Ａ)や|Ａ|と表記します。

 

１．行列式の出自

 

　そもそもなんで行列式なんてものが考えられたんでしょう？。それは、多元連立一次方程式を解くために、です。ここで多元連立一次方程式とは説明するまでもないと思うんですが、記号を説明するためにします(^^;)。

　(1)のx₁，x₂，・・・，x_nは未知数で、b₁，b₂，・・・，b_nは既知数です。未知数x_jの前の係数a_ijは、「n元連立一次方程式の係数」と言われます。もちろんx_j，b_i，a_ij(i，j＝1～n)です。(1)は行列形式で、

 

(2)

などと書かれます。Ａ＝(a_ij)，x＝(x_j)，b＝(b_i)です。ここでクラーメルの公式を出しちゃいます。(2)の解は、

の形で与えられます。(3)の分母は(1)の係数行列Ａの行列式です。一方分子は、行列Ａのk列目をa_kで表しＡ＝(a₁，a₂，･･･，a_n)と書いたとき、Ａのj列目を既知ベクトルbに置き換えた行列、

 

 

 

 

の行列式です（← 長ぇ～な、おい(^^;)）。

　要するに多元連立一次方程式の解法は行列式の計算に帰着する、と言いたい訳です。(3)分母のdet(Ａ)の計算法がわかれば、当然分子の計算もできます。そこで昔の人達（1000年以上前から開始される）は、det(Ａ)の計算法を調べました。コンピューターも電卓もなかった時代、地道ぃ～に地道ぃ～に筆算したのです(^^;)。

　一般にn×n行列の（n次の）行列式の項数はn！になります。2×2行列なら2！＝2項となり、おなじみのad－bcです。3×3行列の3次のサラスの公式ってのは、もしかするとご存知かもしれませんね。調べた限りではサラスの公式のようなものは、少なくとも6次まではあるようです。これらの項数を調べてみると、昔の人達の苦労が身に沁みます。

 

　　1次：1！＝1

　　2次：2！＝1×2＝2

　　3次：3！＝2×3＝6

　　4次：4！＝6×4＝24

　　5次：5！＝24×5＝120

　　6次：6！＝120×6＝720

 

　普通の人なら4次くらいでギブアップのはずです。個人的には5次までならと思いますが、6次は絶対無理です(^^;)。このように果てしない苦労の末に、ついに行列式の計算法則は発見されます！(^^)。

 

　　※ 任意の順列j₁j₂･･･j_nについて和を取る．

 

　なんの事やらわかりませんよね？。なので説明します(^^;)。

　例えばa_1j1は、行列Ａ＝(a_ij)の1行目のj₁列成分です。本当は、

 

 

 

 

 

と書きたかったところなんですが（i行目のj_i列成分）、2重下付き添え字iが見えなくなるので（最近老眼だし・・・）、

 

 

 

 

 

と(4)では書いてます。(4)のΣ記号から明らかなように、ここでの変数は各行iに対応した列番号j_iです。つまり(4)は、Ａの各行から成分を1個取り出し、積a_1j1a_2j2･･･a_njnの和を取れと言ってます。さらに直下の但し書き（※）から、列番号j₁，j₂，･･･，j_nは重複してはいけない事もわかります。

　つまり並び：1 2 ･･･ n を任意に並べ替えた順列：j₁ j₂ ･･･ j_n について積a_1j1a_2j2･･･a_njnをつくり和をとる訳です。その際には係数σ(j₁j₂･･･j_n)が付きます。σはSign（符号）と呼ばれる関数で、その名の通り±1の値をとりますが、その符号は順列(j₁j₂･･･j_n)の並びによって決まる、という次第です。

 

　以上で(4)の意味はわかって頂けたと思います（← 本当か？(^^;)）。この行列式の定義に疑いをさしはさんではいけません！。(4)は、果てしなき苦労の果てに先人が残してくれた遺産なのです。じっさいに使えるし役に立つからこうなりました。そのまま受け入れるのが無難です。

 

 

２．転移数と互換数

 

　大学初年級の線形代数講義の冒頭近くで、行列式の定義(4)がドッカ～ンッ！と登場し学生は撃沈です。何故ならまず、高校でこんなに長ったらしい定義は扱った事がないからです。なんとか意味を理解したとしても、いや意味を理解すればするほど不安が募ります。行列式の定義(4)は、あらゆる数式パターンにのりそうにないからです。通常の数式計算が不可能な事態というのも、新入生には経験外です。

　じつは定義(4)を用いずに、ある意味でもっとわかりやすい行列式の定式化があります。それは行列式の公理的扱いです（後述）。それが余り用いられないのは、公理的扱いをすると行列式に関する数々の性質の証明がかなり間接的になり、学生がなれてないだろうという心遣い（教育的配慮？）からかも知れませんが、本音は違うと思うんですよね。公理的扱いをすると、行列式が本質的にテンソルである事がモロバレだからです。

　大学初年級の線形代数では、テンソルとして出して良いのは行列までという暗黙の不文律がある気がします。それで先生たちは行列式がテンソルであると正面切って言えず、愛想もへったくれもない定義(4)でごり押ししてる気がします。行列式は線形代数における必須の計算ツールなので、やらない訳にもいかず・・・。

　でも定義(4)を使おうと公理的扱いをしようと、次に述べる置換に関する基本定理は証明する必要に迫られます。そして基本定理の価値は、公理的扱いでよりはっきりします。という訳で公理的扱いは「後述」なので、ちょっと我慢して基本定理の証明に付き合って下さいな(^^;)。

 

　最初にちゃんと喋れるようになるために、またも計算に載らない用語を定義します。

 

［定義1］

　1～nの数字並び(1 2 ･･･ n)に対する任意の順列(j₁j₂･･･j_n)の事を、並び(1 2 ･･･ n)の置換と呼ぶ。置換の並びにおいてj_kとj_Lの数字を入れかえる操作を互換と呼び、t(k，L)で表す。

 

　　t(k，L)：(j₁j₂･･･j_k･･･j_L･･･j_n) → (j₁j₂･･･j_L･･･j_k･･･j_n)

 

　適当な互換を繰り返せば(1 2 ･･･ n)から任意の置換（順列）(j₁j₂･･･j_n)が得られるのは明らかです。

 

［定義2］

　並び(1 2 ･･･ n)から置換(j₁j₂･･･j_n)にいたる互換数が偶数の時、(j₁j₂･･･j_n)を偶置換と呼ぶ。奇数の時は奇置換と呼ぶ。

 

　一つの置換を得るための互換のやり方が一通りでないのは明らかです。例えば並び(1 2 3 4)から置換(2 4 1 3)を得るためには、

 

　　t(2，3)・t(3，4)・t(1，2)：

　　　(1 2 3 4) → (2 1 3 4) → (2 1 4 3) → (2 4 1 3)

 

というやり方もありますが（t(i，j)は右から順番に実行する）、

 

　　t(1，4)・t(3，4)・t(1，4)・t(2，3)・t(3，4)：

　　　(1 2 3 4) → (1 2 4 3) → (1 4 2 3) → (3 4 2 1) → (3 4 1 2) → (2 4 1 3)

 

とやっても可能です。最初の互換数は3、後の互換数は5です。今は3と5で最初と後の互換数の偶奇は一致しましたが、別のやり方をしたら8で偶数かも知れません。

　つまり［定義2］が実効的意味を持つためには、ある置換に達する互換数の偶奇は、どんなやり方をしても変わらない事が必要です。よって［定義2］は、そういう事態をあらかじめ想定した定義なのです。そして、そういう事態を証明するのが、置換に関する基本定理です。

 

［定理1］

　並び(1 2 ･･･ n)から置換(j₁j₂･･･j_n)にいたる互換数の偶奇は一定。

 

　［定理1］もまた、なんか数式にのりにくそうな性質です。そこで転移数という補助ツールを導入します。

 

［定義3］

　並び(j₁j₂･･･j_n)の任意の位置k＜L（1≦k，L≦n）について、j_L＜j_kとなるペア(j_k，j_L)の数を、並び(j₁j₂･･･j_n)の転移数と呼ぶ。

 

　ちょっと考えればわかるように転移数を勘定するには、k＜LのLを固定してkを1≦k＜Lの範囲で動かし、j_L＜j_kとなるペア(j_k，j_L)が何個になるかを調べれば十分です。その数を位置Lでの転移数と呼び、Ｔ(k＜L)で表す事にすれば、並び(j₁j₂･･･j_n)の転移数Ｔ(j₁j₂･･･j_n)は、

で計算できます。

 

［補題1］

　並び(j₁j₂･･･j_n)で互換t(k，L)，k＜Lを行ったとき、転移数は奇数個増減する。

［証明］

　転移数の計算式(5)より、位置k～Lでの転移数Ｔ_k，Ｔ_k+1，･･･，Ｔ_Lの変化を調べれば十分。

 

1) p＜kについてj_L＜j_pとなるj_pがn_L個，j_k＜j_pとなるj_pがＴ_k個あったとする。

2) 互換前にk+1＜p＜L-1についてj_L＜j_pとなるj_pがm_L個，j_k＜j_pとなるj_pがm_k個あったとする。

3) 1)より互換前のＴ_kは互換後Ｔ_k'＝n_Lに変化する。

4-1) 互換前j_k＜j_Lなら1)，2)より、互換前のＴ_L＝n_L＋m_Lは互換後Ｔ_L'＝Ｔ_k＋m_k＋1に変化する。

4-2) 互換前j_L＜j_kなら1)，2)より、互換前のＴ_L＝n_L＋m_L＋1は互換後Ｔ_L'＝Ｔ_k＋m_kに変化する。

 

　k～Lの間には(L－k－1)個の位置がある。m＝L－k－1とする。

 

5) k+1＜p＜L-1について互換前にj_L＜j_pだったm_L個のＴ_pは、j_Lの移動によって変化しない。

6) k+1＜p＜L-1について互換前にj_p＜j_Lだった(m－m_L)個のＴ_pは、j_Lの移動によって＋1変化する。

7) k+1＜p＜L-1について互換前にj_k＜j_pだったm_k個のＴ_pは、j_kの移動によって変化しない。

8) k+1＜p＜L-1について互換前にj_p＜j_kだった(m－m_k)個のＴ_pは、j_kの移動によって－1変化する。

 

　3)～8)を集計すれば、

　　Ｔ_kの変化 ：n_L－Ｔ_k

　　Ｔ_Lの変化 ：Ｔ_k＋m_k－n_L－m_L±1（±はj_k＜j_Lまたはj_L＜j_kによる）

　　5)～8)による変化：－m_L＋m_k

なので全体の転移数は、

　　(n_L－Ｔ_k)＋(Ｔ_k＋m_k－n_L－m_L±1)＋(－m_L＋m_k)＝2(m_k－m_L)±1

だけ変化します。

　2(m_k－m_L)±1は奇数なので、1回の互換について転移数は奇数個増減する。

［証明終］

 

　鬱陶しい証明でした。そして転移数というツールとその性質に最初に気づいた人は、やっぱり「すごい！」と思います。そうではありますが上記証明で、1)，2)は状況設定です。3)～8)はその状況設定に基づいて［定義3］に従い、ひたすら地を這うように地道ぃ～に地道ぃ～に状況変化を追跡しただけです。やりゃ～必ず出来ます(^^)。720項もの行列式を筆算で計算した昔の人達は、必ず気づけたんですよ。これも先人達の遺産です。

 

　初期並び(1 2 ･･･ n)は行われた互換数0（偶数）とみなせて、もちろん転移数0（偶数）です。そこから互換を0 → 1 → 2 → 3 → ・・・（回）と繰り返せば互換数は、偶 → 奇 → 偶 → 奇 → ・・・と変化します。1回の互換で転移数は奇数個増減し、奇数を偶数回足せば偶数，奇数回足せば奇数である事から、転移数も0 → 1 → 2 → 3 → ・・・に従って、偶 → 奇 → 偶 → 奇 → ・・・と変化します。よって、

 

［定理2］

　(j₁j₂･･･j_n)への互換数とその転移数Ｔ(j₁j₂･･･j_n)の偶奇は一致する。

［証明］

　［補題1］より明らか。

［証明終］

 

　ところで転移数Ｔ(j₁j₂･･･j_n)は、置換の並び(j₁j₂･･･j_n)だけで決定されます。よって並び(j₁j₂･･･j_n)への達し方がn回の互換とm回の互換であった場合、

 

［系1］

　並び(1 2 ･･･ n)から置換(j₁j₂･･･j_n)にいたるn回の互換とm回の互換において、nとmの偶奇は一致する。したがって［定理1］が成り立つ。

［証明］

　［定理2］よりnとmの偶奇は、Ｔ(j₁j₂･･･j_n)の偶奇に一致するから。この内容は［定理1］と同じ。

［証明終］

 

　こうして［定義2］が意味を持つようになり、符号関数σ(j₁j₂･･･j_n)の計算法を形式的に与える事が可能になります。

 

［定義3］

　(j₁j₂･･･j_n)が偶置換なら、σ(j₁j₂･･･j_n)＝＋1。

　(j₁j₂･･･j_n)が奇置換なら、σ(j₁j₂･･･j_n)＝－1。

　または、

　(1 2 ･･･ n)から(j₁j₂･･･j_n)にいたる互換数がkである時、σ(j₁j₂･･･j_n)＝(－1)^k。

 

　［定義3］は、σ(j₁j₂･･･j_n)の具体的な計算法も与えます。つまり「出来ちゃった」戦法です。例えばσ(2 4 1 3)の値が欲しいなら、

　　(1 2 3 4) → (2 1 3 4) → (2 1 4 3) → (2 4 1 3)

と(2 4 1 3)にいたる互換の系列を一つでも見つければ勝ちです。互換は3回だったのでσ(2 4 1 3)＝(－1)³＝－1。

　じつは互換の系列は系統的に構成できます。

　(1 2 ･･･ n) → (j₁j₂･･･j_n)にしたいとします。Lを並び(j₁j₂･･･j_n)の位置とし、次に定義するCounterという整数を勘定します。

 

1) L＝1のとき1＝j₁なら互換しない。1≠j₁なら位置2≦p≦nを検索し、k＝j₁となる位置kのkと、位置1の1を互換する。互換しないならCounter＝0。そうでないならCounter＝1。

2) L＝mのとき、位置1≦p≦m-1までは(j₁j₂･･･j_m-1 t_mt_m+1･･･t_n)になったと仮定する。t_m＝j_mなら互換しない。t_m≠j_mなら位置m+1≦p≦nを検索し、t_k＝j_mとなる位置kのj_mと、位置mのt_mを互換する。互換しないならCounterはそのまま。そうでないならCounterに1加算。

3) L＝m+1として2)に戻る。

 

　帰納法により(1 2 ･･･ n)は必ず(j₁j₂･･･j_n)に並べ替えられます。1)～3)の繰り返し過程で行われた互換の合計数Counterから、σ(j₁j₂･･･j_n)＝(－1)^Counterです。

　1)～3)の過程は線形ソートと本質的に同じで最も効率の悪いものですが、とにかく互換の系列がみつかりゃ良いのです(^^)。

 

例：(1 2 3 4) → (2 4 1 3)

　　(1 2 3 4) → (2 1 3 4) → (2 4 3 1) → (2 4 1 3)：Counter＝3

 

 

　次回は行列式を公理的に扱います。

 

（執筆：ddt³さん）

Engrishって知っているケロか？

Engrishという言葉を知っているケロか？

Engrish (英語発音: [ˈɪŋgɹɪʃ]) とは、アジア系言語話者の使用する、語表現やスペリングの誤用を伴った英語を揶揄するための俗語である。"Engrish"という造語は"English"の綴り字を変化させたものであり、元々は日本語話者に特徴的な英語の流音"R"と"L"の混同を揶揄されて作られた。このように語源は日本人英語に関連があるものの、近年は語の持つ意味自体が変化しており「日本語話者の英語誤用のみならずアジア系言語を母語とする者に見られる英語誤用」の意を含む語として用いられる。
https://goo.gl/PXudyF

たとえば、

http://polandball.blog.fc2.com/blog-entry-1034.html

http://polandball.blog.fc2.com/blog-entry-4652.html

英語圏のネーティブスピーカーには、日本人の話す英語はこのように聞こえるのだそうだ。
知っていたケロか？

ここで問題。
上の２〜４の漫画に出てくるEngrishを正しい英文（English）にしなさい。

上の漫画では、JapanBallはレイシスト（人種差別主義者）となっているが、これは日本人が難民や移民を受け入れないことを表していて、そうした日本の難民政策への欧米人からの批判なんだケロ。と同時に、ヨーロッパに流れこむ大量のシリア難民、アフリカの経済難民に対するEU圏の・・・。
インドの聖なる牛がREIPUされるのは、インドではレイプが多発し、数多くの小さな女の子やインドに旅行した自国民（女性）がその犠牲者になっていることへの痛烈な批判ってわけ。
こういう欧米流のBlack Humorについていけない、受け入れられないという日本人は多いと思うけれど、まぁ、そういうわけ。

それはそれとして、YouTubeにあるJapanBallのアニメはコチラ↓

欧米人にとっての日本のイメージは、Samurai、Ninjaのステレオタイプ、そうでなければ、ネコミミをつけたコスプレなんかね〜。

あとは、Hentaiだね。

「ポーランドボールのキャラクターには、手や足をつけてはいけない」という硬い掟があるのだけれど、JapanBallだけ例外的に触手（tentacles）をつけることが許されているんだケロよ。

http://polandball.blog.fc2.com/blog-entry-1287.html

http://polandball.blog.fc2.com/blog-entry-577.html

そして、JapanBallは、この触手を使ってS◯Xをし、生殖すると考えられている。Samurai、Nijnaに代わる、新たなステレオタイプがHentaiであり、Tentacle（触手）だにゃ。JapanBallについている触手には、各国の日本に対するリスペクトと愛が感じられるにゃ。

ここで、Engrishの問題。

問題　次の英文（English）を正しいEngrishに直しなさい。
　I will kill of you, then rape of you.

【正答例】
　I wirr(u) kirr(u) of(u) yuo, zen reipu of(u) yuo.

または、

　I wirr(u) kirr(u) obu yuo, zen reipu obu yuo.

定積分の矩形公式と台形公式の誤差の問題３の解答例

問題３（積分の第１平均値の定理）

fが閉区間[a,b]で連続、gが[a,b]で非負連続ならば、

　　

を満たすξが存在することを示せ。

【証明】

になるのはg=0のときで、

　　

したがって、a<ξ<bである任意のξに対して（１）が成立する。

次に、gが[a,b]で恒等的にg(x)=0でないとする。

fは閉区間[a,b]で連続なので、最小値mと最大値Mをもつ。

条件g≧0より、

　　

だから、

　　

が成立する。

fが定数関数でないとき、

　　

で辺々を割ると、

　　

したがって、中間値の定理より

　　

を満足するξが存在する。

fが定数関数であるとき、（１）が成立するのは明らか。

（解答終）

 

追加問題

関数f(x)が有界閉区間[a,b]で連続であれば、

　　

が存在することを示せ。

【解答】

f(x)が定数関数のとき（２）が成り立つことは明らか。

そこで、f(x)は定数関数でないとする。

f(x)は[a,b]で連続なので、f(x)は[a,b]で最小値mと最大値Mをもつ。

したがって、

　　

f(x)は定数関数でないので、

　　

辺々をb−a>0で割ると、

　　

したがって、中間値の定理より、

　　

を満たすξが存在する。

（解答終）

 

本によっては、（１）ではなく、（２）を積分の平均値の定理と書いてあるので注意。

 

 

「スイス人だって、犬を食べる」という漫画

韓国「伝統的韓国料理を作ったよ。中国とベトナムは気に入るはずさ」

中国「とっても美味いね」
ベトナム「何で作られているんだい？」
韓国「どうもありがとう。これは犬のスープだよ」

イギリス「韓国、これは…犬肉だって？」
韓国「うん、その通りだよ。君も欲しいの？」
イギリス「…遠慮しとく。なんて未開なんだ」

イギリス「韓国、牛肉って聞いたことあるか？」
韓国「うん、韓国料理でたくさん使われているよ」
イギリス「何でそれとか豚肉とか鶏肉を犬の代わりに食べないんだ？」
韓国「だって犬は美味しいでしょ？」

スイス「都合の良いことに、やつらは犬の肉は俺の密かな喜びだと気付いていないようだな」 ムシャムシャ

https://goo.gl/aPxF5L

イギリスには犬を食べる食文化、食習慣はなかったらしいけれど（イギリス、イングランドは１６世紀くらいまで超〜貧しかったから、イヌを食べる経済的余裕すらなかったのかもしれない。どれくらい貧しかったかというと、エリザベス１世の頃は、国家ぐるみで海賊行為を働かないと国家財政が破綻するほど貧しかった）、ヨーロッパ大陸には２０世紀の初頭くらいまで犬肉を食べる文化があった。日本にも１９世紀くらいまで犬を食べる食文化があったんだケロよ。（１８世紀の江戸の町には、なぜか、イヌが異様に少なかったらしい。何でも、イヌを見つけると、とっ捕まえて、食べたらしいね。）
つまり、世界の多くの地域で、つい最近まで、イヌやネコは当たり前のように食べられていたんだにゃ。そして、スイスでは、今も、イヌやネコが食べられているのであった。

　びっくり！世界の猫事情～猫肉はスイスでは普通の食材です（１）
　https://goo.gl/FHNnpv

　びっくり！世界の猫事情～猫肉はスイスでは普通の食材です（２）
　https://goo.gl/6966e2

つい最近まで、イヌやネコを食ってきたくせに、ヨーロッパ人は「イヌを食べるなんて野蛮だ」なんてよく言えるもんだにゃ。
おかしくってしょうが無いケロよ。

　Cat Meat
　https://goo.gl/14vgg

紹介した漫画に登場する、ボールと国旗で表されるキャラクターをポーランドボールというにゃ。

ポーランドボール（ドイツ語: Polandball）は、国家を題材としたインターネット・ミームのキャラクター。ポーランドは代表的な題材であるが、その他の国、地域、団体などの「ボール」も現存、歴史上を問わずに描かれる。それぞれの「カントリーボール」は国旗の模様をした球体のキャラクターとして描かれ、その国を体現した個性を持つ・・・
https://goo.gl/G5k4uD

「カナダ、やめろ！ アザラシは愛でるものであって棍棒で叩くものではない」という漫画

（訳）

カナダ「うへへ・・・アザラシ・・・。」

EU「カナダ！　そこまでだ、ストップ！！！」

EU「アザラシは愛でるものであって棍棒で叩くようなものじゃない！　お前は残酷な殺戮者だ！　今すぐその行為をやめることを要求する！」

アザラシ「あうあう。」

カナダ「・・・。」

EU「・・・。」

グシャッ！

カナダ「っせーな。これは文化なんだよ。」

http://sekaiteki.doorblog.jp/archives/37355586.html

波動方程式２

波動方程式２

 

前回に引き続き、（１次元の）波動方程式

　　

について考える。

その前に、偏導関数の性質の復習。

 

偏導関数の性質

f(x,y)をR²の開区間D=(a,b)×(c,d)で定義された関数とする。このとき、次のことが成り立つ。

（１）　fがxについて偏微分可能でならば、fはyだけの関数である。

（２）　ならば、fは定数である。

（３）　でかつが連続ならば、fはxだけの関数とyだけの関数との和に等しい。

【証明】

（１）　yを固定する。g(x)=f(x,y)は(a,b)上でだから定数である。この値をφ(y)とおくと、f(x,y)=φ(y)で、fはyだけの関数である。

（２）　だから（１）よりf(x,y)=φ(y)である。また、だから、

　　

よって、φ(y)は定数である。

（３）　だから、はxだけの関数hに等しい。そこで、x₀を固定する。仮定よりはxについて連続だから、

　　

この右辺をΦ(x)、とおけば、

　　

（証明終）

 

である任意の関数f,gがC²級であるとすると、

　　

が（１）を満たすこと、つまり、が（１）の解になることは前回学んだ。

そこで、次の定理。

 

定理　（波動関数の一般解）

（ⅰ）　任意のC²級関数に対し、は

　　

を満たす。

（ⅱ）　C²級関数が（１）を満たすならば、を満たすC²級関数が存在する。

【証明】

（ⅰ）

　　

 

（２）　ξ=x−ct、η=x+ctとおくと、

　　

同様に、

　　

だから、

　　

偏導関数の性質（３）より、

　　

（証明終）

 

したがって、は（１）の一般解と考えることができ、これをダランベール（d'Alambert）の解という。

物理的には、c>0のとき、f(x−ct)はx軸の正の方向に速さcで進む波、g(x+ct)はx軸の負の方向に進む波を表す。

 

（１）を満たす解z=z(x,t)は無数に存在し、これを１つに定めるためには何らかの条件を加えなければならない。そこで、次の（初期）条件を課すことにする。

　　

z=f(x−ct)+g(x+ct)だから、１番目の条件より

　　

２番めの条件より

　　

これを積分すると、

　　

①、②をf(x)、g(x)について解くと、

　　

となり、これから

　　

これをd'Alamertの公式、Stokesの公式という。

 

問　初期条件が次の場合の解を求めよ。

　　

【解】

d'Alambertの公式より、

　　

 

 

今日のアニソン、「プリンせうチュチュ」から『Morning Grace』

今日のアニソン、アニメ「プリンせうチュチュ」から『Morning Grace』です。

何でも、ローザンヌ国際バレエコンクールで日本の男女３人が入省したらしいので、この曲をセレクトしたにゃ、

日本の男女３人が入賞　ローザンヌ国際バレエコンクール https://t.co/OknQIBrGJE

— 朝日新聞(asahi shimbun） (@asahi) 2019年2月9日

同アニメのED曲はコチラ↓

この絵を見ると、手塚治虫みたいな絵で、この絵だけでネムネコは拒否反応が起きるにゃ。
少女漫画に耐性があるddt⁵さんは耐えられるのだろうけれど、ネムネコは無理だにゃ。この手の絵は耐えられないにゃ。

Bloggerのほうに、y=sin(x+ct)のグラフ（アニメーション）をアップ

Bloggerの方で、偏微分方程式（１階の波動方程式）

　　

の解の一つである、f(x)=sin xとした、

　　

のグラフ（アニメーション）をc=−1<０、c=1>0の場合についてアップしておいたにゃ。

興味ある奴は、下のアドレスのページを見るケロ。

 

https://nemneko.blogspot.com/2019/02/fxsinx-t.html

 

これを見ると、c=−1<0のときは左から右へ進行する正弦波、c=1>0のときは右から左へ進行する正弦波であることがわかる。

 

というわけで、

　　

が波の方程式であることがわかるにゃ。

 

３次元のグラフとして表現すると、たとえば、こんな風になるが・・・。

 

我ながら、なんて親切なネコだにゃ。

慈悲の心が溢れでているにゃ。

波動方程式１

波動方程式１

 

次の１階偏微分方程式について考える。

　　

fを

C¹級関数とすると、

　　

は（１）の解になる。

このことは、u=x+ctとおくと、

　　

となるので、上の２つの式からf'(x+ct)を消去することと（１）式が得られること、あるいは、

となることから確かめることができる。

 

問１　z=f(x,t)をC¹級の関数とするとき、次のことを示せ。

　　

ならば、fはu=x+ctだけの関数であることを示せ。

【解】

u=x+ct、v=xとすると、

　　

また、条件よりだから、

　　

u=x+ct、v=tとすると、

　　

条件より

　　

したがって、zはvを含まないuだけの関数である。

（解答終）

 

同様に、z=g(x−ct)が、偏微分方程式

　　

の解になることがわかる。

 

（註）

偏微分方程式（１）、（３）だけから、関数f、gの形は定まらない。f,gを実数全体の集合Rで連続微分可能である任意の関数とすると、z=f(x+ct)は（１）、z=g(x−ct)は（３）の解になる。

 

問２　z=sin(x+ct)は偏微分方程式（１）、z=sin(x−ct)は偏微分方程式（３）の解となることを確かめよ。

【解】

z=sin(x+ct)とすると、

　　

z=sin(x−ct)とすると、

　　

（解答終）

 

というわけで、偏微分方程式（１）、（３）は１階の波の（偏微分）方程式と考えることもできる。

 

問２　z=f(x+ct)+g(x−ct)のとき、

　　

が成り立つことを示せ。

【略解】

　　

（略解終）

 

問３　f、gをC²級の関数とする。

　　

は、

　　

の解であることを示せ。

【略解】

　　

（略解終）

 

２階の偏微分方程式（４）は、形式的に次のように書き換えることができる。

　　

そして、

　　

は（４）の解であり、これは先に求めた１階の偏微分方程式

　　

の解z=f(x+ct)、z=g(x−ct)を定数倍したものの和になっているというわけ。

 

ますます、（１）、（３）は波の（偏微分）方程式だケロよ。

 

問　座標変換

　　

によって、微分方程式

　

はどのように書き換えられるか。

【解】

x,yについて解くと、

　　

となる。

したがって、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

 

オイラー法の誤差解析

オイラー法の誤差解析

 

次の常微分方程式の初期値問題について考える。

　　

この微分方程式の解はy=y(x)であるから、（１）式の右辺は

　　

とxだけの関数になるので、（１）式は次のようになる。

　　

したがって、

　　

となる。

右辺の定積分を

　　

と近似すると、局所的な離散誤差は

　　

となる。

そして、この式から大域的な誤差の評価式

　　

が得られる。

先の仮定より

　　

だから、

　　

 

次に、

　　

として得られる大域的な誤差について考える。

　　

ここで、Aは定数。

リプシッツ条件

　　

を仮定すると、

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

ε₀=0だから、

　　

したがって、

　　

となり、オイラー法の大域的な誤差は１次オーダーであることがわかる。