定積分の矩形公式と台形公式の誤差

定積分の矩形公式と台形公式の誤差

 

[a,b]をN等分した次の点列があるとする。

　　

分割幅をhとすると、

　　

となるが、

このとき、

　　

と積分を近似したときの誤差について考える。

 

その前に準備として、f(x)がC¹級であるとき、

　　

となるξがa<ξ<bに存在することを以下に示す。

 

　　

とし、左辺を部分積分すると、

　　

になる。

b−aは[a,b]で非負なので、積分の第一平均値の定理より

　　

となるξがa<ξ<bに存在する。

したがって、

　　

となる。

 

よって、

　　

ここで、

　　

とすれば、

　　

そして、これが、

　　

と近似したときの誤差の評価式になる。

 

本当にそうなのか、

　　

とし、

　　

の場合について確かめてみる。

 

 

上のグラフは横軸に分割数N、縦軸に誤差の絶対値をとり、対数グラフで表したもので、このグラフを見ると、直線の勾配が約１であり、分割数Nを１０倍、つまり、分割幅hを1/10にする誤差が約1/10になることがわかる。

このことより、この誤差の評価式の妥当性を確かめることができる。

 

また、

　　

となるので、同様の議論から、

　　

と、定積分を近似したときの誤差の評価式が

　　

で与えられることがわかる。

 

 

問題１　f(x)を[a,b]でC²級の関数とする。このとき、

　　

となるξが存在することを示せ。

【解】

部分積分を２回用いることにより、

　　

(b−x)(x−a)は[a,b]で非負なので、積分の平均値の定理より

　　

となるξがa<ξ<bに存在する。

また、

　　

だから、

　　

（解答終）

 

そして、

　　

と台形則で定積分を近似したときの誤差が

　　

となることがわかる。

 

 

問題２　次の等式が成立することを確かめよ。

　　

 

問題３（積分の第１平均値の定理）

fが閉区間[a,b]で連続、gが[a,b]で非負連続ならば、

　　

を満たすξが存在することを示せ。