お前らに問題 論理（２月３日）

お前ら、次の問題を解くにゃ。

 

問題　ある正数a、bに対してax+by>0ならば、x>0またはy>0であることを証明せよ。

 

論理が関係する問題だから、曖昧な証明は許さないケロ。

まず証明すべき命題を論理記号を使って表し、それから証明するように。

第９回 全称命題と特称命題の複合命題１

第９回　全称命題と特称命題の複合命題１

 

§１　全称命題と特称命題の否定

 

全体集合UをU={1,2,3}とし、

　「すべてのxは６の約数である」

という命題p(x)の否定について考える。

a(x)を「６の約数である」とすると、この命題は

　

で表され、a(x)は、x=1,2,3のときに真である。すなわち、

　

である。

したがって、この命題に否定は

　

であり、ド・モルガンの法則より

　

この右辺は、の少なくとも１つが真であることを表している。

よって、

　　

である。

同様に、

　

を否定すると、

　　

となることから、

　　

となる。

　　

条件命題a(x)の真理集合をAとすると、このことは次のように示される。

　　

したがって、

　「すべてのxは・・・である」の否定は「あるxは・・・でない」

　「あるxは・・・である」の否定は「すべてのxは・・・でない」

である。

 

問１　次の命題の真偽を言え。偽の場合は、その命題を否定して真の命題にせよ。

（１）　すべてのxについて、x²≧2x−2

（２）　x>0を満たす任意のxをとっても、である。

（３）　ある実数xに対して、である。

【解答】

（１）　すべてのxについて、となるので、真。

 

（２）　x=1のとき、なので、偽。

全体集合UをU={x|x>0}とすると、この命題は

　

となるので、この否定は

　

したがって、「x>0を満たすあるxはである」

 

（３）　を満たす実数xは存在しないので、この命題は偽。

この命題の否定は

　

なので、この命題の否定は

　

よって、「すべての実数xについて、である」

（解答終）

 

 

§２　連言と選言

 

「すべてのx」、「あるx」がついた連言、選言については次の関係が成り立つ。

　

【証明】

全体集合をU、a(x)、b(x)の真理集合をそれぞれA、Bとする。

　

U=A∩B⊂A、かつ、A⊂Uだから、A=U。

同様に、B=U。

よって、

　

したがって、

　

 

（４）については、

　

（解答終）

 

なお、次の関係は一般に成り立たないので注意。

　　

 

問２　（５）、（６）は一般に成り立たない。その反例をあげよ。

【反例」

（５）については、実数全体の集合Rを全体集合とし、「xは有理数である」をa(x)、「xは無理数である」をb(x)とすると、

は真であるが、ともに偽であるからは偽。

したがって、

　

 

（６）　三角形すべての集合を全体集合とし、「xは鋭角三角形である」をa(x)、「xは鈍角三角形」をb(x)とすると、

は偽、ともに真であるのでは真である。

したがって、

　

（反例）

 

a(x)、b(x)の真理集合をA、Bとすると、

であり、

なので、（５）は一般に成立しない。

ただ、

　

は成立するので、

　

は成立する。ただし、この逆は一般に成立しない。

　

また、

　

となり、

　

は成り立つので、

　

である。ただし、この逆は一般に成立しない。

 

 

問３　次の関係が成り立つことを示せ。

　

【解】

　

（解答終）

 

 

両刀論法（ディレンマ）の証明

どうせ、お前らのことだから証明はしないだろうということで、解答例を挙げておくにゃ。

 

問題　次の命題が恒真（命題）であることを示せ。

　

【解答例】

　　

ここで、Iは恒真命題。

（解答終）

 

上の計算では、

　

を利用していることに注意。

【証明】

　

（証明終）

お前らは最終的な数式を見ているだけだから、この数式を作るのに、ネムネコがどれほど苦労しているか、わからないと思うけれど、

　

この数式を作るための数式記述用の言語は

lbrace ( a drarrow b ) and ( c drarrow d )and (a or c) rbrace drarrow ( b or d ) newline
"" =  overline {( bar a or b ) and ( bar c or d )and (a or c)}  or ( b or d ) newline
"" = overline { bar a or b } or overline { bar c or d } or overline { a or c } or ( b or d ) newline
"" = ( a and bar b ) or ( c and bar d ) or ( bar a and bar c ) or ( b or d ) newline
"" = lbrace (a and bar b) or b rbrace or lbrace (c or bar d) or d rbrace or ( bar a and bar c ) newline
"" = ( a or b ) or ( c or d ) or ( bar a and bar c ) newline
"" = b or lbrace a or (bar a and bar c) rbrace or ( c or d ) newline
"" = b or ( a or bar c ) or c or d newline
""= b or a or (bar c or c) or d newline
""= b or a or I or d = I

ネムネコは、数式ではなく、このアブラカタブラを書きつつ、同時並行で、この論理演算をしているんだにゃ。
大変なんだケロ。
愛がないと、こんなことはできないと思うにゃ。