波動方程式２

波動方程式２

 

前回に引き続き、（１次元の）波動方程式

　　

について考える。

その前に、偏導関数の性質の復習。

 

偏導関数の性質

f(x,y)をR²の開区間D=(a,b)×(c,d)で定義された関数とする。このとき、次のことが成り立つ。

（１）　fがxについて偏微分可能でならば、fはyだけの関数である。

（２）　ならば、fは定数である。

（３）　でかつが連続ならば、fはxだけの関数とyだけの関数との和に等しい。

【証明】

（１）　yを固定する。g(x)=f(x,y)は(a,b)上でだから定数である。この値をφ(y)とおくと、f(x,y)=φ(y)で、fはyだけの関数である。

（２）　だから（１）よりf(x,y)=φ(y)である。また、だから、

　　

よって、φ(y)は定数である。

（３）　だから、はxだけの関数hに等しい。そこで、x₀を固定する。仮定よりはxについて連続だから、

　　

この右辺をΦ(x)、とおけば、

　　

（証明終）

 

である任意の関数f,gがC²級であるとすると、

　　

が（１）を満たすこと、つまり、が（１）の解になることは前回学んだ。

そこで、次の定理。

 

定理　（波動関数の一般解）

（ⅰ）　任意のC²級関数に対し、は

　　

を満たす。

（ⅱ）　C²級関数が（１）を満たすならば、を満たすC²級関数が存在する。

【証明】

（ⅰ）

　　

 

（２）　ξ=x−ct、η=x+ctとおくと、

　　

同様に、

　　

だから、

　　

偏導関数の性質（３）より、

　　

（証明終）

 

したがって、は（１）の一般解と考えることができ、これをダランベール（d'Alambert）の解という。

物理的には、c>0のとき、f(x−ct)はx軸の正の方向に速さcで進む波、g(x+ct)はx軸の負の方向に進む波を表す。

 

（１）を満たす解z=z(x,t)は無数に存在し、これを１つに定めるためには何らかの条件を加えなければならない。そこで、次の（初期）条件を課すことにする。

　　

z=f(x−ct)+g(x+ct)だから、１番目の条件より

　　

２番めの条件より

　　

これを積分すると、

　　

①、②をf(x)、g(x)について解くと、

　　

となり、これから

　　

これをd'Alamertの公式、Stokesの公式という。

 

問　初期条件が次の場合の解を求めよ。

　　

【解】

d'Alambertの公式より、