北海道厚真町で震度6弱 津波なし NHK [ひとこと言わねば]
北海道厚真町で震度6弱 津波なし
— NHKニュース (@nhk_news) 2019年2月21日
陸上自衛隊撮影の北海道厚真町の様子https://t.co/NvtILbzTes#nhk_news #nhk_video pic.twitter.com/6PF3gbRXEq
札幌駅の地下通路で一夜 「毛布あって、仮眠はできた」 https://t.co/fARpZF8FI2
— 朝日新聞(asahi shimbun) (@asahi) 2019年2月22日
確率・統計の問題と解答例 [高校の統計]
問題
箱の中には、1〜N(Nは2以上)までの相異なる数字が書かれた玉がN個入っている。その箱の中から1つ取り出した玉に書かれている数字をXとし、取り出した玉を戻さず、さらにもう1つ取り出した玉に書かれている数字をYとする。
このとき、次の問に答えよ。
(1) Xの期待値(平均値)はいくらか。
(2) X+Yの期待値(平均値)はいくらか。
(3) 1回目に取り出した玉を箱に戻したあとに、さらに、2回目の玉を取り出すように変更したとする。1回目に取り出した球に書かれている数をX、2回目に取り出した書かれている数をYとしたとき、X+Yの期待値(平均値)はいくつになるか。
N=3の場合、
(1)
(2) 1回目にX、2回目にYが出た事象を(X,Y)で表すと、同様に確からしい根源事象は、つぎの4つになる。
(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)
したがって、期待値は
(3) 同様に確からしい根源事象は、次の6つになる。
(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)
したがって、期待値は
Z=X+Yとおき、確率分布を作って解くならば、次のようになるだろう。
(2) Z=X+Yとすると、確率分布は
Z |
3 |
4 |
5 |
確率p(Z) |
1/3 |
1/3 |
1/3 |
したがって、X+Yの期待値は
(3) Z=X+Yとすると、その確率分布は
Z |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
確率p(Z) |
1/9 |
2/9 |
3/9 |
2/9 |
1/9 |
したがって、X+Yの期待値は
どうやら取り出した球を戻そうが(復元抽出)、戻すまいが(非復元抽出)であろうが、取り出した2つの玉に書かれた数の和の期待値は同じになりそうだ。
N個の場合
したがって答は
追加問題1
箱に1、2、・・・、N(N≧2)の数字が書かれたカードがそれぞれ1、2、・・・N枚入っているとする。このとき、次の問に答えよ。
(1) 箱に入っているカードは合計何枚か。
(2) 箱から1枚取り出したカードに書かれている数字がk(1≦k≦N)である確率を求めよ。
(3) 箱から1枚取り出したカードに書かれている数字の期待値(平均値)を求めよ。
【解答例】
(1)
(2) kが書かれているカードはk枚あるので、確率は
(3) 期待値は
(解答例終)
追加問題2
2つの箱には1からnまでの通し番号を書いたカードが入っている。各箱から同時に1枚ずつカードを取り出し、番号を比較して小さくない方をXとするとき、次の問に答えよ。
(1) X=kである確率をnとkで表わせ。ただし、kは整数で1≦k≦nとする。
(2) Xの期待値をnの式で表わせ。
【解答例】
(1) だから、
(2)
(解答例終)
(1)は、X=kになるのは、
(k,1),(k,2),・・・,(k,k),(k−1,k),(k−2,k),・・・,(1,k)
の2k−1通りだから、
としてもいいのでしょう。