Bloggerのほうに、y=sin(x+ct)のグラフ（アニメーション）をアップ [ひとこと言わねば]
Bloggerの方で、偏微分方程式（１階の波動方程式）
の解の一つである、f(x)=sin xとした、
のグラフ（アニメーション）をc=−1<０、c=1>0の場合についてアップしておいたにゃ。
興味ある奴は、下のアドレスのページを見るケロ。
https://nemneko.blogspot.com/2019/02/fxsinx-t.html
これを見ると、c=−1<0のときは左から右へ進行する正弦波、c=1>0のときは右から左へ進行する正弦波であることがわかる。
というわけで、
が波の方程式であることがわかるにゃ。
３次元のグラフとして表現すると、たとえば、こんな風になるが・・・。
波動方程式１ [微分方程式の解法]
波動方程式１
次の１階偏微分方程式について考える。
fを
C¹級関数とすると、
は（１）の解になる。
このことは、u=x+ctとおくと、
となるので、上の２つの式からf'(x+ct)を消去することと（１）式が得られること、あるいは、
となることから確かめることができる。
問１ z=f(x,t)をC¹級の関数とするとき、次のことを示せ。
ならば、fはu=x+ctだけの関数であることを示せ。
【解】
u=x+ct、v=xとすると、
また、条件より
だから、
u=x+ct、v=tとすると、
条件より
したがって、zはvを含まないuだけの関数である。
（解答終）
同様に、z=g(x−ct)が、偏微分方程式
の解になることがわかる。
（註）
偏微分方程式（１）、（３）だけから、関数f、gの形は定まらない。f,gを実数全体の集合Rで連続微分可能である任意の関数とすると、z=f(x+ct)は（１）、z=g(x−ct)は（３）の解になる。
問２ z=sin(x+ct)は偏微分方程式（１）、z=sin(x−ct)は偏微分方程式（３）の解となることを確かめよ。
【解】
z=sin(x+ct)とすると、
z=sin(x−ct)とすると、
（解答終）
というわけで、偏微分方程式（１）、（３）は１階の波の（偏微分）方程式と考えることもできる。
問２ z=f(x+ct)+g(x−ct)のとき、
が成り立つことを示せ。
【略解】
（略解終）
問３ f、gをC²級の関数とする。
は、
の解であることを示せ。
【略解】
（略解終）
２階の偏微分方程式（４）は、形式的に次のように書き換えることができる。
そして、
は（４）の解であり、これは先に求めた１階の偏微分方程式
の解z=f(x+ct)、z=g(x−ct)を定数倍したものの和になっているというわけ。
ますます、（１）、（３）は波の（偏微分）方程式だケロよ。
問 座標変換
によって、微分方程式
はどのように書き換えられるか。
【解】
x,yについて解くと、
となる。
したがって、
よって、
（解答終）
