第９回 全称命題と特称命題の複合命題１ [集合と論理]
第９回 全称命題と特称命題の複合命題１
§１ 全称命題と特称命題の否定
全体集合UをU={1,2,3}とし、
「すべてのxは６の約数である」
という命題p(x)の否定について考える。
a(x)を「６の約数である」とすると、この命題は
で表され、a(x)は、x=1,2,3のときに真である。すなわち、
である。
したがって、この命題に否定は
であり、ド・モルガンの法則より
この右辺は、
の少なくとも１つが真であることを表している。
よって、
である。
同様に、
を否定すると、
となることから、
となる。
条件命題a(x)の真理集合をAとすると、このことは次のように示される。
したがって、
「すべてのxは・・・である」の否定は「あるxは・・・でない」
「あるxは・・・である」の否定は「すべてのxは・・・でない」
である。
問１ 次の命題の真偽を言え。偽の場合は、その命題を否定して真の命題にせよ。
（１） すべてのxについて、x²≧2x−2
（２） x>0を満たす任意のxをとっても、
である。
（３） ある実数xに対して、
である。
【解答】
（１） すべてのxについて、
となるので、真。
（２） x=1のとき、
なので、偽。
全体集合UをU={x|x>0}とすると、この命題は
となるので、この否定は
したがって、「x>0を満たすあるxは
である」
（３） を満たす実数xは存在しないので、この命題は偽。
この命題の否定は
なので、この命題の否定は
よって、「すべての実数xについて、
である」
（解答終）
§２ 連言と選言
「すべてのx」、「あるx」がついた連言、選言については次の関係が成り立つ。
【証明】
全体集合をU、a(x)、b(x)の真理集合をそれぞれA、Bとする。
U=A∩B⊂A、かつ、A⊂Uだから、A=U。
同様に、B=U。
よって、
したがって、
（４）については、
（解答終）
なお、次の関係は一般に成り立たないので注意。
問２ （５）、（６）は一般に成り立たない。その反例をあげよ。
【反例」
（５）については、実数全体の集合Rを全体集合とし、「xは有理数である」をa(x)、「xは無理数である」をb(x)とすると、
は真であるが、
ともに偽であるから
は偽。
したがって、
（６） 三角形すべての集合を全体集合とし、「xは鋭角三角形である」をa(x)、「xは鈍角三角形」をb(x)とすると、
は偽、
ともに真であるので
は真である。
したがって、
（反例）
a(x)、b(x)の真理集合をA、Bとすると、
であり、
なので、（５）は一般に成立しない。
ただ、
は成立するので、
は成立する。ただし、この逆は一般に成立しない。
また、
となり、
は成り立つので、
である。ただし、この逆は一般に成立しない。
問３ 次の関係が成り立つことを示せ。
【解】
（解答終）
2019-02-03 12:00
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