オイラー法の誤差解析

オイラー法の誤差解析

 

次の常微分方程式の初期値問題について考える。

　　

この微分方程式の解はy=y(x)であるから、（１）式の右辺は

　　

とxだけの関数になるので、（１）式は次のようになる。

　　

したがって、

　　

となる。

右辺の定積分を

　　

と近似すると、局所的な離散誤差は

　　

となる。

そして、この式から大域的な誤差の評価式

　　

が得られる。

先の仮定より

　　

だから、

　　

 

次に、

　　

として得られる大域的な誤差について考える。

　　

ここで、Aは定数。

リプシッツ条件

　　

を仮定すると、

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

ε₀=0だから、

　　

したがって、

　　

となり、オイラー法の大域的な誤差は１次オーダーであることがわかる。