定積分の矩形公式と台形公式の誤差の問題３の解答例

問題３（積分の第１平均値の定理）

fが閉区間[a,b]で連続、gが[a,b]で非負連続ならば、

　　

を満たすξが存在することを示せ。

【証明】

になるのはg=0のときで、

　　

したがって、a<ξ<bである任意のξに対して（１）が成立する。

次に、gが[a,b]で恒等的にg(x)=0でないとする。

fは閉区間[a,b]で連続なので、最小値mと最大値Mをもつ。

条件g≧0より、

　　

だから、

　　

が成立する。

fが定数関数でないとき、

　　

で辺々を割ると、

　　

したがって、中間値の定理より

　　

を満足するξが存在する。

fが定数関数であるとき、（１）が成立するのは明らか。

（解答終）

 

追加問題

関数f(x)が有界閉区間[a,b]で連続であれば、

　　

が存在することを示せ。

【解答】

f(x)が定数関数のとき（２）が成り立つことは明らか。

そこで、f(x)は定数関数でないとする。

f(x)は[a,b]で連続なので、f(x)は[a,b]で最小値mと最大値Mをもつ。

したがって、

　　

f(x)は定数関数でないので、

　　

辺々をb−a>0で割ると、

　　

したがって、中間値の定理より、

　　

を満たすξが存在する。

（解答終）

 

本によっては、（１）ではなく、（２）を積分の平均値の定理と書いてあるので注意。