ｓｎ、ｃｎ、ｄｎ関数の値を計算する [数値解析]
ｓｎ、ｃｎ、ｄｎ関数の値を計算する
とし、この逆関数
とし、
とおくと、この導関数は
となる。
ここで、
であり、
である。
これらの関係から、sn(u)について次の微分方程式を得ることができる。
ここで改めて、x=u、y=sn(u)とおくと、
という微分方程式を得る。
x=0のとき、
であるので、オイラー法やルンゲ・クッタ法などを用いて数値積分することにより、y=sn(x)の数値解を求めることができる。
具体的には、
とおき、次の連立微分方程式
を、初期条件
のもとで数値的に解けばよい。
k=0.8について、解いた結果は、次の通り。
計算に使用したFortranプログラムは次のとおり。
parameter(n=10)
real x(0:n) , y(0:n), p(0:n)
real k
k=0.8
h=0.1
! 配列変数の初期化
x=0; y=0; p=0
! 計算点の座標を設定
do i= 0, n
x(i)=i*h
end do
! 初期値を設定
y(0) = 0.; p(0)=1.0
! ルンゲ・クッタ法で連立微分方程式を解く
call RK(x,y,p,n)
! 計算結果の出力
write(*,*) ' x sn(x) cn(x) dn(x)'
do i= 0 , n ,1
dn=sqrt(1.0-(k*y(i))**2)
cn=p(i)/dn
write(*,100) x(i),y(i) , cn , dn
end do
100 format(f8.5, 3(1x , f8.5))
end
! ルンゲ・クッタ法（４次）
subroutine RK(x , y, z ,n)
real x(0:n) , y(0:n), z(0:n)
do i= 1 , n
h = x(i)-x(i-1)
dy1 = f(x(i-1),y(i-1),z(i-1))*h
dz1= g(x(i-1),y(i-1),z(i-1))*h
dy2 = h*f(x(i-1)+h/2, y(i-1)+dy1/2, z(i-1)+dz1/2)
dz2 = h*g(x(i-1)+h/2, y(i-1)+dy1/2, z(i-1)+dz1/2)
dy3 = h*f(x(i-1)+h/2, y(i-1)+dy2/2, z(i-1)+dz2/2)
dz3 = h*g(x(i-1)+h/2, y(i-1)+dy2/2, z(i-1)+dz2/2)
dy4 = h*f(x(i-1)+h, y(i-1)+dy3, z(i-1)+dz3)
dz4 = h*g(x(i-1)+h, y(i-1)+dy3, z(i-1)+dz3)
y(i)=y(i-1)+ (dy1 + 2*dy2 + 2*dy3 + dy4)/6.
z(i)=z(i-1)+ (dz1 + 2*dz2 + 2*dz3 + dz4)/6.
end do
end
! dy/dx=f(x,y,z)のf(x,y,z)を定義
function f(x,y,z)
f=z
end
! dz/dx = g(x,y,z)のg(x,y,z)を定義
function g(x, y, z)
real k
k=0.8
g=-(1+k**2)*y + 2.*k**2*y**3
end
４次のルンゲ・クッタ法を使ってsn(x)を数値的に解いたあと、
を計算したあと、
を用いてcs関数を求めてあるにゃ。
少し無駄が多いので、もう少し綺麗にプログラムを書くこともできるだろうけれど(^^ゞ
k=0.8のときの計算結果
CASIOの高精度計算サイトの計算結果
なお、この計算は次のようにしてCASIOさんのところで計算したもの。
CASIOさんがどのようにしてこれを計算しているのかは知らないけれど、このように他人（ひと）の力を頼らずに計算できるというわけ。
お前らに質問 （定積分・広義積分編） [お前らに質問]
お前らに質問！！
つかぬことをお尋ねしますが、
という（広義）積分は存在しますか？
妙なことを口走る奴がいると困るから、「リーマン積分の範囲でこの広義積分は存在するか」と問うているんだからな。この広義積分に対応する実数は存在するかと質問しているんだからな。ここを勘違いしてもらっては困る。
ところで、お前らは、次の不定積分を求められるケロか？
問題 次の不定積分を求めなさい。
（ヒント）
（１）
t=sinθとおき、置換積分せよ。
あるいは、三角関数の積分の最終兵器である
とおき、
を使え。
（ヒント終）
問題の（１）の不定積分を求められれば、K(π/2)が存在するか、存在しないか、わかるんじゃ〜ないかい？
画像元：YouTubeの上の動画
