考えるネムネコ（高校の微分編）

考えるネムネコ（高校の微分編）

 

 

この連休中、実家に帰っていて、ネムネコが高校時代に使っていた数学の参考書を覗いていたら、次のような解答があった。

 

問題　x+y=a（a>0）のとき、√x+√yの最小値を求めよ。

【解答】

x+y=aよりy=a−x。

　　

とおき、微分すると

　　

よって、0<x<a/2のとき増加、a/2<x<aのとき減少で、x=a/2のとき極大（最大）。

で、

　　

よって、x=0、y=aまたはx=a、y=0のときに最小で最小値は√a

 

 

（解答終）

 

といったようにこの問題を解くのだそうだ。分子の有理化をして解くあたり見事で、ここでの有理化は気づきにくいのではないか。

なお、問題にはないけれど、x=y=a/2のとき最大で最大値はだケロ。

上のグラフを見れば、x=a/2に関してf(x)が対称であることもわかるだろう。

（対称であることを示せ！！）

 

この解答にケチをつけるつもりはないけれど、

u=√x、v=√yとおくと、

　　

となり、u+v（u≧0、v≧0）の最小値を求める問題になる。

 

 

だから、この問題は、原点を中心とする半径√aの円u²+v²=aとu+v=kという直線のお絵かきすることで簡単に解けてしまう。

 

何でもかんでも微分すりゃ〜いいというもんでもないだろうに・・・。

 

 

なお、最大値は、シュワルツの不等式を使うと、

　　

と求めることも可能。

 

もちろん、最大値は、原点と直線x+y=kの距離を用いて

　　

と求めてもいいだろう。

 

円と直線が接する時に最大になるので、みんなが大好き判別式を使って解くこともできるだろう。

 

ということで、お前ら、次の問題を解くにゃ。

 

 

問題　√x+√y=1のとき、x+yの最小値を求めよ。　　（答　1/2）

 

なお、この問題は大学入試の問題です。

 

解いた奴は、「オレはこんなふうに解いた」と、コメント欄にその解答を書いて送るにゃ。

 

もちろん、

　　

これをx+yに代入し、

　　

とし、微分を使って解いてもいいにゃ。

こう解く場合、微分を使わずに、

　　

と行きたいところだが・・・。

 

 

中には、

　　

とおき、ラグランジュの未定乗数法を使って解く物好き、猛者もいるかもしれない(^^)