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物理的な定積分の問題（高校の数学） [高校の微分積分]
物理的な定積分の問題（高校の数学）
過去（大昔）の大学入試に出題された、物理的な定積分の問題をいくつか紹介し、解くことにする。
問題１ x軸上を動く点Pがある。その測度は時刻tの関数として6(t²−3t+2)と表され、t=0における点Pの位置はx=1である。t=0からt=3の間に点Pが動いた道のりを求めよ。
【解】
速度をvとすると、
したがって、
0≦t≦1のときv≧0
1<t<2のときv<0
2≦t≦3のときv≧0
よって、t=0からt=3の間の道のりsは
（解答終）
t=aからt=bの間の道のりsは
ここで、vは時刻tにおける速度なので注意が必要。
問題２ ２つの動点P、Qが定点Oから同時に出発して定直線上を同じ方向に動き出すものとする。それらのt秒後の速度がそれぞれ7t(4−t)、2t(3−t)(6−t)で与えられるとすれば、動き出したのちPとQがはじめて出会うのは何秒後か。
【解】
点P、Qのt秒後の位置をそれぞれx₁、x₂とすると、
点Pと点Qが出会うということはx₁=x₂ということ。
したがって、
t>0の最小の時間なので、4/3秒後。
（解答終）
問題３ x軸上を動く点Pの時刻tにおける位置はxで、速度は
で表される。Pがx=2からx=3まで動くのに要する時間を求めよ。
【解】
問題の条件より
x=2のときの時刻を0、x=3の時刻をtとすると、
よって、23/6。
（解答終）
次のように解いたほうがわかりやすいのかもしれない。
【別解】
（別解終）
このあたりは好みの問題で、自分にとってわかりやすい方を選択すれば良い。
問題４ 点(1,0)を出発してx軸上の正の方向に動く点Pがある。点Pの速さが原点からの距離に反比例するとき（ただし比例定数はkとする）、出発してからt秒後の点Pのx座標x(t)を求めよ。
【解】
問題の条件より
よって、
t=0のとき、x=1なのでC=1。
よって、
（解答終）
問題５ 半直線OX、点Oのまわりを毎秒1ラジアンの角速度で回転している。OX上を運動する点Pが、時刻tにおいて点Oから
cmの距離にあるという。時刻０秒から2π秒までの間に、点Pの動く道のりを求めよ。ただし、eは自然対数の底である。
【解】
時刻t=0におけるOXをx軸の正の部分にとり、点Pの座標を(x,y)とすれば、
よって、
したがって、道のりsは
（解答終）
類題 原点Oを始点とするベクトル
の終点Pの運動を考える。ただし、tは時刻を表す変数であり、eは自然対数の底である。t=0からt=2πまでPが動いた道のりを求めよ。
問題６ ベクトル
の終点Pの描く曲線とx軸とで囲まれる部分の面積と、t=0からt=2πまでPが動いた道のりを求めよ。ただし、a>0で、0≦x≦2πとする。
（答） 面積3a²π 道のり8a
