今日のアニソン、「東方」から『ケロケロ節』 [今日のアニソン]
標本の推定と検定の補充問題 [高校の統計]
標本の推定と検定の補充問題
問題１ A君のいるクラスのものの英語と国語の成績を調べたところ、右表のとおりであった。この試験でA君の成績は英語８２点、国語９１点であった。クラスの中の成績の順位からいえば、A君は英語と国語のどちらが順位が上と考えられるか。
【解】
の大小で判断すれば良い。ここで、xは得点、mは平均点、σは標準偏差である。
英語の場合、
国語の場合、
したがって、国語の順位が上である。
（解答終）
正規分布を仮定すると、
したがって、A君の英語の順位は１００人中１３番目、国語の順位は５番目くらいと考えられる。
問題２ ある学年の生徒数は７００人で、先日行われた数学の学力テストの平均点は４６点、標準偏差は５点であった。次の問に答えよ。
（１） ４１点から５１点までのものは、最低何人いると考えられるか。
（２） ２６点から６６点までのものは、何人より多いと考えてよいか。
【解】
チェビショフの定理（不等式）より、
なる区間にいるものの数lは
（１） これはk=1の場合なので、
よって、０人以上
（２） これはk=3の場合なので、
よって、６５２人以上
（解答終）
（１）は、ほとんど意味のない情報（笑）。
なお、正規分布を仮定すれば、
（１）はz=1の場合なので、
から約４７７人。
（２）はz=4の場合なので、
よって、７００人。
６６点は偏差値９０，２６点は偏差値１０だから、７００人全員がこの範囲に収まってしまう。
ネムネコが考えるに、この数学のテストの大問が５題であったとすれば、大問２題は誰でも解けてしまう簡単な問題で、残りの３つの問題はあまりに難しくて、ほとんど全ての生徒は手も足も出せないダルマさん状態になってしまっていたと考えられ（笑）。
問題３ 事象Aが起こる確率が0.05以下のとき、Aが起こることは「めずらしい」ということにする。男子の出生率が0.5のとき、６人のうち５人以上の男子が生まれることは珍しいといえるか。
【解】
６人のうち５人以上の男子が生まれる確率は、
なので、「めずらしい」とは言えない。
（解答終）
類題 ある風邪薬の新薬のきく確率は0.8だといわれている。これを８人の患者に飲ませたとき７人以上の患者に聞くことは「めずらしい」といえるか。
【略解】
よって、「めずらしい」と言えない。
（略解終）
母平均の推定
１つの標本の分布から母平均の平均を推定するには、
n個の標本を任意抽出し、その平均
、標準偏差σ、母集団の平均をmとすれば、
（１） 
と推定する信頼度は９５％
（２） 
と推定する信頼度は９９％
問題４ ある高校３年生の男子２５０人の平均身長は165.4cm、標準偏差は5.6cmであった。この男子生徒の身長を９５％の信頼度で推定せよ。
【解】
よって、
よって、95%の信頼度で165.4±0.70cm。
問題５ １つの貨幣を１０回投げて表が出る実験を８回行った。その結果は次のとおりであった。
4, 5, 3, 5, 6, 4, 6, 5
（１） 表が出た回数の平均値と標準偏差を求めよ。
（２） （１）をもとに、信頼度９５％で表の出る真の確率を推定せよ。
【解】
（１） 表が出る平均回数をm、標準偏差をσとすると、
（２） 標本の表の出る平均確率は0.475、標本の数n=8、標準偏差σ=0.0968だから、信頼度９５％の信頼度では
よって、
（解答終）
問題５
（１） ある円板の直径を１０回測ったら、次の値（単位mm）を得た。真の直径を９５％の信頼度で推定せよ。
10.3, 10.1, 9.9, 10.2, 9.9, 10.2, 10.1, 9.9, 10.1, 10.2
（２） この円板の直径を９５％の信頼度で、しかも0.01mmの精度で求めるには、何回測定しなければならないか。
【解】
（１） 標本の平均を、真の直径をmとする。
標準偏差σは
したがって、
よって、
（２） 信頼度９５％なので
となるようにnを定めれば良い。
よって、
したがって、８３０回。
（解答終）
（１）の答は、10.1±0.1としたほうがいいのかもしれない。
という数字に意味があるかどうか微妙だから。
であるとすれば、
なので、標準偏差σ=0.14がいいのかもしれない。
だとすれば、（２）の答えは、
となり、７８４回となる。
どこで小数点何位で四捨五入をするかによって計算結果がこうも劇的に異なるのかと驚くネムネコであった。
問題６ 
の値が２以下ならば優位水準５％としての事象の成立は正しいとし、２より大きければその事象の成立は棄却される。
いま２５人１組に新しい教育方法で数学を教えたら、１年間の平均成績が８４点であった。いままでの教育方法では平均８２点で標準偏差は４である。新しい教育方法は効果があったといえるか。
【解】
「新しい教育方法は効果がない」と仮定する。
新しい教育方法での平均点
、m=82、σ=4とすると、
となり、この仮説は棄却される。
よって、新しい教育法は効果があった。
（解答終）
問題７ ある大学では１年生に対して毎年同じテストを行っている。昨年度の１年生の成績は平均点64.5、分散２０の正規分布に従っていた。今年度の１年生にも同じテストを行い、無作為に８人を抽出しところ点数は次のとおりであった。
66, 73, 55, 69, 70, 67, 62, 71
今年度の１年生の平均点は昨年度よりも高いか有意９５％で検定せよ。ただし、今年度の分散は昨年度と同一であるとする。
【解】
昨年と変わらないと仮定する。
なので、
よって、この仮説は棄却されない。
したがって、平均点は昨年度より高くないと考えられる。
（解答終）
問題８ ある工場の経験によると7mmボルトの規格の製品の寸法はほぼ正規分布をしており、標準偏差は0.20mmであるという。ある日の製品から１６個のボルトを無作為抽出したところ、その寸法の平均が7.09mmであった。この日の寸法の平均は規格から外れているか。優位水準0.05で検定せよ。また、この日の寸法の寸法の平均μを９５％信頼区間を求めよ。
【解】
この日の標本平均をとすると、
よって、この日の寸法の平均は規格から外れていない。
また、９５％の信頼区間は、
（解答終）
