今日のアニソン、「名犬ジョリィ」から『走れジョリィ』 [今日のアニソン]
広義積分の基本問題(1月13日) [広義積分]
広義積分の基本問題(1月13日)
広義積分の基本問題だケロ。お前ら、解けるケロか。
問題 次の問に答えよ。
(1) 広義積分が存在することを示し、この値を求めよ。
(2) 次の広義積分が存在することを示し、値を求めよ。
(3) tを実定数とするとき、
となることを示せ。
なお、(2)の広義積分の値は
だケロ。
(2)は難しいかもしれないので、例によって、ヒントを出す。
定理 関数f、gを(a,b]、[a,b)あるいは(a,b)で連続とする。
|f|≦gかつが収束するならば、も収束する。
こんな定理を使わなくても、
の不定積分を求め、
が存在することを直接証明することもできるが、上の定理を使ったほうが証明は楽だと思う。
ちなみに、
どうせ、お前ら、連休ですることなくてヒマしてるんだろう(^^)。
暇潰しにこの問題を解くといい。
そして、(3)を解くことができた奴は次の広義積分を求めるケロ。
求められない奴は、この広義積分が存在することを示す。
今日のアニソン、「バンパイヤ」から『バンパイヤの歌』 [今日のアニソン]
第3回 命題の演算法則 [集合と論理]
第3回 命題の演算法則
命題aの否定の否定については、次の関係がつねに成立する。
a |
||
T |
F |
T |
F |
T |
F |
2つの命題a、bの連言a∧b、aまたはcについては、交換法則が成立する。
また、3つの命題a、b,cの連言、選言については、結合法則が成立する。
分配法則
a∧(b∨c)の真偽表
a∨(b∧c)の真偽表
問1 次のことが成り立つことを示せ。
【解】
したがって、問1から、を命題とするとき、一般に次の関係が成り立つことがわかる。
べき等法則と吸収法則
べき等法則
吸収法則
問2 分配法則を適用し、次の関係が成立することを示せ。
【解】
(解答終)
ド・モルガンの法則
の真偽表
の真偽表
問3 次のことを示せ。
【解】
(解答終)
したがって、を命題とするとき、次の関係が成り立つことがわかる。
今日のアニソン、「めぞん一刻」から『陽だまり』 [今日のアニソン]
https://goo.gl/mAKofX
一様連続とリプシッツ連続の問題の解答例 [微分]
一様連続とリプシッツ連続の問題の解答例
問5 f(x)を区間Iで微分可能な関数とする。任意のx∈Iに対して、
ならば、任意のx、y∈Iに対して
が成り立つ。逆も成り立つことを示せ。
【解答】
x,y∈I、x≠yのとき、平均値の定理より次の関係を満たすcがxとyの間に存在する。
したがって、
逆に、x≠yのとき。
(解答終)
問題 関数
について、次の問に答えよ。
(1) f(x)が[0,1]で一様連続であることを一様連続の定義に従って示せ。
(2) f(x)は[0,1]でリプシッツ連続でないことを示せ。
【解答】
(1) a≧0、b≧0のとき、
である。
x₁、x₂∈[0,1]、さらに、x₁≧x₂とする。
任意の正数ε>0に対して、δを
に定め、
とすると、①より、
したがって、
x₁>x₂の場合も同様に、
となり、f(x)=√xは[0,1]で一様連続である。
(2) nを任意の自然数とし、
とする。
f(x)=√xが[0,1]でリプシッツ連続であるとすると、
を満たす実定数Kが存在することになるが、これでは自然数が上に有界であることを示すので、このような実定数Kは存在しない。
したがって、f(x)=√xは[0,1]でリプシッツ連続でない。
(解答終)
簡単な微分方程式をわざわざ難しく解く Part 2 [お前らに質問]
簡単な微分方程式をわざわざ難しく解く Part 2
問題 変数分離法を使わずに、次の微分方程式を解け。
ノーヒントだと辛いかもしれないので、ヒントを!!
(ヒント)
(1) 定数関数y=0が解なのは明らかなので、
y≠0とし、y=1/uと置くと、左辺は
したがって、微分方程式は
という1階の線形微分方程式に書き換えることができる。
いくらお前たちでも、この1階線形微分方程式くらいは変数分離法を使わずに解けるだろう。
(2) と置き、合成関数の微分公式
を用いると・・・。
ブラゲロのブログ記事の紹介 [ひとこと言わねば]
そして、アダムとエヴァのこの話は、「神から二者択一の選択を迫られ、その一方を選択した結果、人は不死でなくなる」というバナナ型神話の類型の一つに過ぎず、自由意志が云々という解釈は後世のキリスト教の神学者が(キリスト教の)神の、全知全能性、絶対性を守るためにでっち上げたドグマだと思っている。
https://goo.gl/lSylfD
アダムとエヴァのせいにしないと、
「(キリスト教の)神さまが全知全能の絶対者ならば、何故、判断を過つような不完全な人という生き物を作ってしまったのか、という解決困難な神学上の問題が発生してしまう。神さまが全知全能でこのことを事前に予知できていたならば、アダムとエヴァの堕落は神様のせいだということになってしまう。このことを予知できなかったのならば、神さまは全知全能の絶対者でなくなってしまう」からだにゃ。
このお話は、神さまを全知全能の絶対者とするキリスト教神学の根幹に関わる非常に危険なお話――実際に、このお話はキリスト教の神の全知全能性に対する疑問、反論として、よく、引用される。いわゆる無神論者にとってはキリスト教攻撃の格好のネタ!!――で、キリスト教の神学者たちは神さまの全知全能性を擁護するために、自由意志というものを引っ張り出したに違いない。そして、キリスト教の神学者たちは、「神さまはヒトに神に逆らう自由すら与えた」と、さらに、「自由、これこそ神の恩寵だ」と声高に主張しだすかもしれない。
このことからも、創世記の神さまが未来予知を苦手にしていることは明らかだと思うんだがな〜。
神は、未来予知の能力を有しているが、自らの意志で、あえてそれをしないのだ。だから、神の全知全能性は揺るがない。
もし、罪があるとすれば、それは神との契約を破り神に背いたイスラエルの民にのみあるのであって、イスラエルの民以外の民にはないとする考え方もある。ユダヤ教の超正統派の聖職者(?)の中には、こういったことを言うヒトもいるんだケロ。
意外に厄介な微分方程式の問題 [高校の微分積分]
意外に厄介な微分方程式の問題
お正月に実家に帰省した際、高校時代に使っていた問題集の問題をいくつか眺め、簡単に解けそうだけれど、実際に解くと大変そうだな思う問題があったので、解いてみた。
問題1 微分方程式
の解を求めよ。ただし、初期条件y(0)=1を満たすものとする。
【解】
は定数なので、
とおくと、微分方程式は
になり、変数分離法を用いて次のように解くことができる。
この結果を①に代入すると、
また、初期条件y(0)=1より
②に代入すると、
よって、
したがって、
(解答終)
決して難しい問題ではないけれど、計算がちょっと面倒くさいケロ。
別解として次のものを挙げておこう。
【別解】
の両辺をxで微分すると、
ここで、u=dy/dxとおくと、
この微分方程式の解は
したがって、
となる。
これを①式の左辺に代入すると、
となるので、①は
となる。
初期条件y(0)=1より、
連立方程式
を解くと、
したがって、
(別解終)
どちらが楽かは、正直、微妙ですが、変数分離法を使わないので、疚しさは多少軽減されるに違いない(笑)。
問題2 微分方程式
の解で、そのグラフと2直線x=0、y=2の囲む図形の面積が1となるものを全て求めよ。
おそらく、この問題は次のように解くのであろう。
【解】
これをyについて解くと
になる。
C=0のとき、定数関数y=1となり不適。
C>0のとき、x=0、y=2と①が囲む面積は
だから、条件より
したがって、
となるので、
したがって、
(解答終)
定数関数y=0という自明の解(特異解)が存在するが、これは大昔に出題された大学入試問題だし、この解の吟味はしなくてもいいに違いない(^^ゞ
うるさいことを言い出したら、キリがないからね〜。
第2回 複合命題の真偽 [集合と論理]
第2回 複合命題の真偽
命題aに対して、「aでない」という命題を命題aの否定といい、記号
で表す。
命題が真であることをT(true)、偽であることをF(false)で表すと、命題aの否定の真偽表または真理表次のようになる。
a |
|
T |
F |
F |
T |
命題a、bに対して、「aかつb]という命題を、aとbの連言と言い、記号
で表す。
連言の真偽表は次のとおり。
a |
b |
a∧b |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
F |
T |
F |
F |
F |
F |
命題a、bに対して、「aまたはb」という命題を、aとbの連言といい、記号
で表す。
連言の真偽表は次のとおりである。
a |
b |
a∨b |
T |
T |
T |
T |
F |
T |
F |
T |
T |
F |
F |
F |
選言a∨bは、命題aとbがともに偽であるときのみ儀で、他の場合は真である。
真偽表より、命題aとbの連言a∧b、選言については、交換法則、すなわち、
また、次の真偽表より、結合法則も成立する。
連言の結合法則
a |
b |
c |
a∧b |
(a∧b)∧c |
b∧c |
a∧(b∧c) |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
F |
T |
F |
F |
F |
T |
F |
T |
F |
F |
F |
F |
T |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
T |
T |
F |
F |
T |
F |
F |
T |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
T |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
選言の結合法則
a |
b |
c |
a∨b |
(a∨b)∨c |
b∨c |
a∨(b∨c) |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
F |
T |
T |
T |
T |
T |
F |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
T |
T |
F |
T |
F |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
F |
T |
F |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
T |
F |
T |
T |
T |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |