意外に厄介な微分方程式の問題

意外に厄介な微分方程式の問題

 

お正月に実家に帰省した際、高校時代に使っていた問題集の問題をいくつか眺め、簡単に解けそうだけれど、実際に解くと大変そうだな思う問題があったので、解いてみた。

 

問題１　微分方程式

　　

の解を求めよ。ただし、初期条件y(0)=1を満たすものとする。

【解】

は定数なので、

　　

とおくと、微分方程式は

　　

になり、変数分離法を用いて次のように解くことができる。

　　

この結果を①に代入すると、

　　

また、初期条件y(0)=1より

　　

②に代入すると、

　　

よって、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

決して難しい問題ではないけれど、計算がちょっと面倒くさいケロ。

 

別解として次のものを挙げておこう。

 

【別解】

　　

の両辺をxで微分すると、

　　

ここで、u=dy/dxとおくと、

　　

この微分方程式の解は

　　

したがって、

　　

となる。

これを①式の左辺に代入すると、

　　

となるので、①は

　　

となる。

初期条件y(0)=1より、

　　

連立方程式

　　

を解くと、

　　

したがって、

　　

（別解終）

 

どちらが楽かは、正直、微妙ですが、変数分離法を使わないので、疚しさは多少軽減されるに違いない（笑）。

 

 

問題２　微分方程式

　　

の解で、そのグラフと２直線x=0、y=2の囲む図形の面積が１となるものを全て求めよ。

 

おそらく、この問題は次のように解くのであろう。

 

【解】

　　

これをyについて解くと

　　

になる。

C=0のとき、定数関数y=1となり不適。

C≠0のとき、y=2と曲線①との交点のx座標をxとすると、

　　

C>0のとき、x=0、y=2と①が囲む面積は

　　

だから、条件より

　　

したがって、

　　

C<0のときは、

　　

となるので、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

定数関数y=0という自明の解（特異解）が存在するが、これは大昔に出題された大学入試問題だし、この解の吟味はしなくてもいいに違いない(^^ゞ

 うるさいことを言い出したら、キリがないからね〜。