一様連続とリプシッツ連続の問題の解答例

一様連続とリプシッツ連続の問題の解答例

 

問５　f(x)を区間Iで微分可能な関数とする。任意のx∈Iに対して、

　　

ならば、任意のx、y∈Iに対して

　　

が成り立つ。逆も成り立つことを示せ。

【解答】

x,y∈I、x≠yのとき、平均値の定理より次の関係を満たすcがxとyの間に存在する。

　　

したがって、

　　

逆に、x≠yのとき。

　　

（解答終）

 

問題　関数

　　

について、次の問に答えよ。

（１）　f(x)が[0,1]で一様連続であることを一様連続の定義に従って示せ。

（２）　f(x)は[0,1]でリプシッツ連続でないことを示せ。

【解答】

（１）　a≧0、b≧0のとき、

　　

である。

x₁、x₂∈[0,1]、さらに、x₁≧x₂とする。

任意の正数ε>0に対して、δを

　　

に定め、

　　

とすると、①より、

　　

したがって、

　　

x₁>x₂の場合も同様に、

　　

となり、f(x)=√xは[0,1]で一様連続である。

 

（２）　nを任意の自然数とし、

　　

とする。

f(x)=√xが[0,1]でリプシッツ連続であるとすると、

　　

を満たす実定数Kが存在することになるが、これでは自然数が上に有界であることを示すので、このような実定数Kは存在しない。

したがって、f(x)=√xは[0,1]でリプシッツ連続でない。

（解答終）