簡単な微分方程式をわざわざ難しく解く Part ２

簡単な微分方程式をわざわざ難しく解く Part ２

 

問題　変数分離法を使わずに、次の微分方程式を解け。

 

ノーヒントだと辛いかもしれないので、ヒントを！！

 

（ヒント）

（１）　定数関数y=0が解なのは明らかなので、

y≠0とし、y=1/uと置くと、左辺は

　　

したがって、微分方程式は

　　

という１階の線形微分方程式に書き換えることができる。

いくらお前たちでも、この１階線形微分方程式くらいは変数分離法を使わずに解けるだろう。

 

（２）　と置き、合成関数の微分公式

　　

を用いると・・・。

 

 

【解答例】

（１）　定数関数y=0が解なのは明らか。

y≠0のとき、y=1/uと置くと、左辺は

　　

したがって、微分方程式は

　　

という１階の線形微分方程式に書き換えることができる。

　　

両辺にを掛けると

　　

したがって、

　　

y=1/uだから、

　　

 

（２）　と置き、合成関数の微分公式

　　

を用いると、

　　

したがって、微分方程式は

　　

（１）より、

　　

（解答例終）

 

計算を間違っていなければ(^^ゞ

 

（１）の別解として、

右辺=0とした同次方程式

　　

の一般解は

　　

また、定数関数u=1は

　　

の特殊解なので、この微分方程式の一般解は

　　

よって、・・・。

 

より難しく解くには、

　　

という演算子を導入すると、微分方程式②は

　　

したがって、②の特殊解u₀は

　　

よって、

　　

うんぬん、云々。