今日のアニソン、「名犬ラッシー」から『終わらない物語』 [今日のアニソン]
第5回 恒真命題と恒偽命題 [集合と論理]
第5回 恒真命題と恒偽命題
§1 恒真命題と恒偽命題
命題a⇒bは、aとbの命題の真偽によって真にも儀にもなるが、(a∧b)⇒aや、a⇒(a∨b)などは、aとbの真偽にかかわらず常に真である(下表参照)。
このように、ある複合命題が、それを構成する命題a、b、c・・・の真偽にかかわらずつねに真であるとき、その複合命題は恒真である、または、恒真命題といい、記号Iで表すことにする。
また、複合命題を構成する命題a、b、c・・・の真偽にかかわらずつねに偽であるとき、その複合命題は恒偽である、または、恒偽命題といい、記号Oで表す。
恒真命題と恒偽命題の定義から次の関係が成立する。
§2 同一律と排中律
a |
a⇒a |
||
T |
F |
T |
T |
F |
T |
T |
T |
上の真偽表より明らかなように、同一律と排中律はともに恒真命題である。すなわち、
である。
また、a⇒aは、
と変形できるので、同一律と排中律は同じものと考えることができる。
§3 矛盾律と矛盾
だから、
したがって、は恒偽命題である。
また、命題aと命題bがともに真であることができない、すなわち、
であるとき、命題aとbは矛盾するという。
§3 恒真命題と恒偽命題の演算規則
aを任意の命題とするとき、恒真命題Iと恒偽命題Oについては次の関係が成り立つ。
問1 a、b、cを命題とする。次の問に答えよ。
(1)、a∧bとが矛盾すること、つまり、
であることを示せ。
(2) 2つの命題とは矛盾するか答えよ。
【解】
(1)
よって、矛盾しない。
(2)
よって、矛盾しない。
(解答終)
問2 次の等式を証明せよ。
【解】
(解答終)
(2)、(3)は吸収法則
の証明になる。
問3 次の複合命題が恒真命題であることを示せ。
【解】
(解答終)
問4 次の等式を証明せよ。
【略解】
または、
(解答終)
問5 次の命題が恒真命題であることを示せ。