第５回 恒真命題と恒偽命題

第５回　恒真命題と恒偽命題

 

§１　恒真命題と恒偽命題

 

命題a⇒bは、aとbの命題の真偽によって真にも儀にもなるが、(a∧b)⇒aや、a⇒(a∨b)などは、aとbの真偽にかかわらず常に真である（下表参照）。

 

 

このように、ある複合命題が、それを構成する命題a、b、c・・・の真偽にかかわらずつねに真であるとき、その複合命題は恒真である、または、恒真命題といい、記号Iで表すことにする。

また、複合命題を構成する命題a、b、c・・・の真偽にかかわらずつねに偽であるとき、その複合命題は恒偽である、または、恒偽命題といい、記号Oで表す。

 

恒真命題と恒偽命題の定義から次の関係が成立する。

　

 

§２　同一律と排中律

　

 

a		a⇒a
T	F	T	T
F	T	T	T

 

上の真偽表より明らかなように、同一律と排中律はともに恒真命題である。すなわち、

　

である。

また、a⇒aは、

　

と変形できるので、同一律と排中律は同じものと考えることができる。

 

§３　矛盾律と矛盾

 

　

だから、

　

したがって、は恒偽命題である。

また、命題aと命題bがともに真であることができない、すなわち、

　

であるとき、命題aとbは矛盾するという。

 

 

§３　恒真命題と恒偽命題の演算規則

 

aを任意の命題とするとき、恒真命題Iと恒偽命題Oについては次の関係が成り立つ。

　

 

 

問１　a、b、cを命題とする。次の問に答えよ。

（１）、a∧bとが矛盾すること、つまり、

　

であることを示せ。

（２）　２つの命題とは矛盾するか答えよ。

【解】

（１）

　

よって、矛盾しない。

（２）

　

よって、矛盾しない。

（解答終）

 

 

問２　次の等式を証明せよ。

　

【解】

　

（解答終）

 

（２）、（３）は吸収法則

の証明になる。

 

 

問３　次の複合命題が恒真命題であることを示せ。

【解】

（解答終）

 

 

問４　次の等式を証明せよ。

　

【略解】

　

または、

　

（解答終）

 

問５　次の命題が恒真命題であることを示せ。

　

【解】

　

（解答終）