お前らに質問（９月１３日 直線と点の距離・ベクトル編） [お前らに質問]
お前らに質問（９月１３日 直線と点の距離・ベクトル編）
同一平面上にある直線l:ax+by+c=0と点P(x₀,y₀）の距離dは
である。
この公式（１）は高校のときに習ったと思う。
では、ここで、お前らに質問！！
問題 原点Oを通り、単位ベクトル
と垂直な直線lと点Pが同一平面上にある。そして、点Pから直線lに下ろした垂線の足をHとし、点Pと点Hの位置ベクトルを、それぞれ、
とする。
このとき、次の問に答えよ。
（１） 
をと
を用いて表わせ。
（２） 点Pと直線lの距離をとを用いて表わせ。
小問（１）と（２）は、逆にしたほうがいいのかもしれないが・・・。
勘のいいヤツは、（２）は何も計算することなく秒殺できるかもしれないからね〜。
念のために、
だケロよ。
さらに、念押しすると、
問題の（２）で求めた答えに、
としてベクトルの成分で計算した結果が、公式（１）にc=0を代入した
にならなければ、求めた答は間違っているからな。
ネムネコは優しいから、解答に役立つ図までつけてやったにゃ。
ここまで手とり足取り書いたのだから、必ず解けよな。少なくとも（２）は、答を教えたのと同じなんだから。
オイラー法とシンプレクティック法 その１ [ddt³さんの部屋]
オイラー法とシンプレクティック法 その１
以前このプログで、時間に関する1階偏微分方程式を時間に関する2階偏微分方程式に直して、強引にシンプレクティック法を適用してさんざんな目に合ったおぼえがあるので、とりあえず今回はどうなんだろぉ～とは思いました。また数値解法上で時間反転を考えると、ちょっとわかりにくい事態になるんですよね(^^;)。
ちなみにシンプレクティック法は基本的に、2階微分方程式に関する専用解法です。ここで2階微分方程式を一般に運動方程式と呼ぶとすると、運動方程式に従う運動はシンプレクティック変換を満たさねばならない事がわかります。具体的には位置と運動量の組を(q(t)，p(t))として、時間がτ進んだ状態(q(t＋τ)，p(t＋τ))への変換、
(q(t)，p(t)) → (q(t＋τ)，p(t＋τ))
はシンプレクティック変換になってるという訳です。
数値解法は一般に時間ステップ幅τによって、点列、
(q(t)，p(t)) → (q(t＋τ)，p(t＋τ)) → (q(t＋2τ)，p(t＋2τ)) → ・・・
を与えます。この(q(t＋nτ)，p(t＋nτ))から(q(t＋(n＋1)τ)，p(t＋(n＋1)τ))を数値的に計算する過程がシンプレクティック変換になっているものを、シンプレクティック法と言います。
シンプレクティック法がリープ・フロッグ法（蛙飛び法）とも言われるのは、シンプレクティック変換の標準的構成法を使うと、変位場と速度（運動量）場を時間に従って交互に更新する計算になるからです。電磁場方程式の場合は、電場と磁場を交互に更新する蛙飛びです(^^)。
１．やってみますか
ネコ先生から出された宿題は、
でした。qを変位と呼びます。シンプレクティック法は2階微分方程式の専用解法なので、(1)を強引に2階微分方程式に持ち込みます。(1)を時間tで微分し、
すなわち、
になります。
(2)はエネルギー曲線を持ちます。両辺にq'をかけ、合成関数の微分公式の逆を使い、時間tで積分すれば、
が得られます。Ｃは初期条件で決まる積分定数。
ここでpは、
で定義される運動量（速度）です。エネルギー曲線(3)とオイラー法との関係を調べるために、(2)を連立1階微分方程式へ引き直します。
(5)の1段目は(4)そのものです。2段目は1段目の意味を考慮すれば(2)そのもので、じっさいに1段目を微分して2段目に代入すれば、(2)が得られます。(5)に対するオイラー法は時間ステップ幅をτとして、
でしょう。これはネコ先生が与えたオイラー法と本質的に同等な計算手順です。
ネコ先生の宿題は1階微分方程式(1)に対するものだったので、初期条件はt＝0でq(0)＝1だけでした。(5)は2階微分方程式(2)と同等なので初期条件は2個必要ですが、宿題に合わせれば(1)より、t＝0でq(0)＝p(0)＝1です。しかしこの解ではオイラー法の特徴が見えにくいので、初期条件をq(0)＝1，p(0)＝0とします。
(6)でτ＝0.1とした点列を(p，q)空間にプロットします。(p，q)空間は位相空間と言われ、微分方程式の解の定性的性質を見定める便利手段として、けっこう多用されます。図-1の計算はExcelで行いました。残念ながら、タイガー計算機（← 炊飯器じゃないよ(^^)）などは用いておりません(^^;)。Ｃは－0.5となります。
時間範囲は0≦t≦1だったので、τ＝0.1から(6)を10回繰り返します（赤点列）。実際に計算すると、(p(1)，q(1))＝(1.12253，1.47121)になります。さらにこれを初期条件とし、τ＝－0.1として(6)を10回繰り返した時間反転結果が緑の点列です。最終結果は、(p(0)，q(0))＝(0.00000，0.90438)になります。という訳で、時間反転しても最初の初期条件には戻りません。
２．オイラー法の定性的（大域的）性質を調べる
どうしてこうなったかを考えるために、定量的な局所精度を調べるのではなく、運動方程式の不変性に注目して定性的（大域的）にオイラー法の性質を調べてみます。そこで基準になるのは、厳密解を与える解法の条件とはどんなものかという都合の良い考えです。あるとすれば理想的な解法の条件です。
(S-1) 変換：(q(t)，p(t)) → (q(t＋τ)，p(t＋τ))は、シンプレクティック変換である。
(S-2) 変換：(q(t)，p(t)) → (q(t＋τ)，p(t＋τ))は、運動方程式を不変に保つ。
(S-1)は冒頭で述べた、運動方程式に従う運動の必要条件です。(S-2)は、数値解の点列が同じ運動方程式を満たし続けるという条件です。(q(t＋τ)，p(t＋τ))＝(Ｑ，Ｐ)と書くことにすれば、厳密解を与える限り、(q，p)は厳密な運動方程式、
を満たすはずです。同じ理由から、変換後も(Ｑ，Ｐ)に対して厳密な運動方程式が成り立たねばなりません。
条件(S-2)さえあれば数値解法は、厳密解を与えそうな気がします。しかし同じ運動方程式を満たし続けたとしても、同じ初期条件から出発した点列であるという保証はありません。そこを制約するのが条件(S-1)です。じつはオイラー法は、条件(S-2)を満たすのです。
(6)は線形変換、
ですから逆行列をとる事により、
が得られ、(7)を時間tで微分すれば、
になるのは明らかです。
(7)，(8)を運動方程式(5)、すなわち、
に代入すれば、
と(q(t＋τ)，p(t＋τ))＝(Ｑ，Ｐ)に対して(9)と同じ形(10)が得られます。
よってオイラー法(6)がシンプレクティック変換になっていれば、オイラー法は厳密解を与える事になります！。
安心してください。ちゃんとシンプレクティック変換ではありませんよ(^^)。(S-2)を満たすオイラー法が、シンプレクティック変換なら(S-1)も満たすので、それは厳密解を与えるはずですがオイラー法の点列は図-1から、厳密解のエネルギー曲線から外れた点列になっています。よってオイラー法は自明にシンプレクティック変換ではありません。
つまりオイラー法は、運動方程式は満たし続けるけれど、異なる初期条件から出発した解にジャンプし続けているのです。実際t＝0，0.1，0.2，・・・に対するオイラー法の点列(q(t)，p(t))について、エネルギーの表式である(3)を計算してみると図-2となり、オイラー法においてはエネルギーが保存しません。そしてその理由は明白です。何故ならオイラー法は計算手順(6)より、エネルギー曲線の接線方向へ飛び出し続けるというくせを持つからです。そしてその理由も明白です。
(6)の時間更新手続きはqもpも同時に更新するので、等速運動させながら同時に等加速度運動もさせるというものです。そのような運動は原理的に不可能であり、当然それを許容するような運動方程式もあり得ないので、オイラー法がエネルギー保存則を満たす訳はないのです。
だったら図-1の時間反転部分も同じじゃないですか！。オイラー法は定性的（大域的）に考えると、数値解がどこにジャンプして飛んで行ってしまうかわからない解法なのです。時間反転しても、最初の初期条件にもどる保証はありません。
初等的な微分方程式の解法６ ２階線形微分方程式（定数係数）の場合 [微分積分]
初等的な微分方程式の解法６ ２階線形微分方程式（定数係数）の場合
§１ 線形常微分方程式（定数係数）の解法
２階同次線形微分方程式（定数係数）の一般形は
である。
を（１）の（基本）解とすると，
だから、
だから、
でなければならない。この２次方程式を（１）の特性方程式といい、この２次方程式の解を特性解、特性根という。
（１）の特性方程式（２）の解をα、βとすると、２次方程式の解と係数の関係より、
であるから、（１）は
したがって、
y'–βy の一般解は、
である。
α≠βの場合
（３）式の両辺に
を掛けると、
とおくと、（１）の一般解は
α=β（重根）の場合
α=βだから（３）式は
両辺に
を掛けると、
C=C₂とすると、一般解は
となる。
なお、特性根が虚根p±qiのとき、
したがって、次のことが成り立つ。
同次方程式
の特性方程式
の解をα、βととすると、（１）の一般解は次のようになる。
（ⅰ） α、βが相異なる２実根のとき
（ⅱ） 重根λ=α=βのとき
（ⅲ） 虚根α=p+iq、β=p−iqのとき
問題１ 次の微分方程式を解け。
【解】
（１） 特性方程式は、
よって、一般解は
（２） 特性方程式は
したがって、一般解は
（３） 特性方程式は
よって、
（解答終）
n階線形微分方程式の一般形は、定数係数の場合、
がを解にもつとすれば、
そこで、
とおけば、
となり、
を満たすとき、
は（３）の解の１つとなる。
（４）を（３）の特性方程式といい、その解を特性解、特性根という。
問題２ 次の微分方程式を解け。
【解】
（１） 特性方程式は
よって、一般解は
（２） 特性方程式は
よって、一般解は
（解答終）
§２ ２階線形非同次常微分方程式（定数係数）
２階線形非同次微分方程式の一般形は
である。
（５）の一般解は、同次線形方程式（１）の一般解と（５）の特殊解の和で表されるので、まず、同次方程式（１）の一般形を求め、何らかの方法で非同時方程式（５）の特殊解を求めたのち、それを先に求めた同次方程式の一般解に加えればよい。
【証明】
yを（５）の一般解、y₁を（５）の特殊解とすると、
①と②の両辺の差をとると、
ここで、φ=y−y₁とおくと、
③の一般解をφとすると、
（証明終）
問題３ 次の微分方程式を解け。
【解】
（１） 同次方程式y''–2 y –y=0の特性方程式
だから、この一般解は
非同次方程式
の特殊解がy=ax²+by+cであるとすると、
だから、これを①に代入すると、
ゆえに、a=−1、b=1、c=−1。
したがって、y=–x²+x–1は①の特殊解。
だから、①の一般解は
（２） 同次形方程式y''–y=0の一般解は
非同次方程式
の特殊解がy=Acos+Bsinxであるとすると、
だから、①に代入すると、
よって、
は①の特殊解である。
したがって、①の一般解は
（解答終）
お前らに質問 （９月１０日 微分方程式） [お前らに質問]
お前らに質問 （９月１０日 微分方程式）
次の微分方程式がある。
（１）の特性方程式
の解がλ=1、2だから、（１）の一般解は
であることは、わかるよな。
これは、
もし
が解であるならば、
になるので、これを（１）の左辺に代入すると、
となり、
なので、
でなければならない、からだにゃ。
そして、この２次方程式の解がλ=1、2だから、
はともに（１）を満たす。
だから、
も（１）の解で、任意定数を２つ含むんでいるので、これは（１）の一般解ってわけだにゃ。
問 
が微分方程式（１）の解であることを確かめよ。
ここまではイントロだにゃ。
では、本題。
微分方程式
の特性方程式は
だから、重根λ=1がこの特性方程式の解だ。
そして、上の議論に従うならば、
の一般解のはずだ。
確かに、これはC₁、C₂と任意定数を２つ含んでいるので、（２）の一般解のように見えるが、
任意の実数C₁、C₂に対して、
となる実数が存在するので、
になってしまう。そして、これは任意定数を１つしか含んでいないので、（２）の一般解ではないにゃ。何故ならば、（２）は二階の微分方程式なので、（２）の一般解は任意定数を２つ持っていないといけないから。
そこで、お前らに質問だにゃ。
問題 微分方程式（２）に一般解は存在するでしょうか。
もし、存在するとすれば、どうやって、見つけたらいいでしょうか。
「（２）の特性方程式の解はλ=1の重根だから、
であることは常識だろう。
ネムネコは、何、血迷ったことを言っているんだ」
と思うヒトもいると思うが、
大学などの学校でそう習ったから、お前らは、ただ、そう、オウム返しだけかもしれない。
その可能性は極めて高いにゃ。
というわけで、
なぜ、（３）（のみ）が微分方程式（２）の一般解になるのか、オレが納得できるような説明ーー証明ではない！！。そんな高度なことをお前らに要求したりしない。ここ、ポイントーーをして欲しいにゃ。
ネムネコ、リープ・フロッグ（蛙飛び）法で単振動を計算する [数値解析]
ネムネコ、リープ・フロッグ（蛙飛び）法で単振動を計算する
物理で最も基本的な運動の一つに単振動（一次元調和振動子）というものがある。
ニュートンの運動方程式は
ここで、mは（質点の）質量、ωは角振動数（角速度）であり、xは（質点の重心の）位置、tは時刻である。
m>0なのだから、この方程式は
としてもいいよね。
さて、
とおくと、（２）式は次のようになる。
したがって、２階微分方程式（２）と次の１階の連立微分方程式は同じもの。
微分の合成公式から
になるので、（６）式は
これは何かといえば、（力学的）エネルギー保存則を表しているにゃ。
（２）式をさらに一般化し、
とすると、（７）は次の連立微分方程式になる。
そして、今回紹介するリープ・フロッグ（蛙飛び）法は、
という初期値問題を
という漸化式に書き換え、（１０）、（１１）から求まる
を微分方程式の解
の近似解にするもの。
（１０）に関しては、テーラー展開
から直ちに出るし、
と考えれば、微分方程式（９）は
となり、これを積分すると、
この右辺の積分を台形公式で近似すれば
となるので、
になる。
したがって、（１０）、（１１）の（離散化）誤差はO((Δt)³)で、修正オイラー法、２次のルンゲ・クッタ法と同程度ということになる。
通常、これとは違った導出をするのですが、同じ結果が得られるので、構いやしないや(^^ゞ。
Δt=0.1として、t=20までの２００ステップを、このリープ・フロッグ法、蛙飛び法を用いて、
を解いてみたにゃ。
こちらがその結果。
特に見て欲しいのが、横軸にx、縦軸に速度vをとった位相図。
厳密解は、
だから、
になるのですが、リープ・フロッグ法で解いた真円と見間違うほど綺麗な円を描く。
これに対して、リープ・フロッグ法と同程度の離散誤差をもつ２次のルンゲクッタ法を用いてこの問題を解いた場合、時間の経過とともに、誤差の伝播のためにエネルギーが増加し、軌道がx²+v²=1から徐々に徐々に離れていく。
スゴイにゃ、リープ・フロッグ法。
初等的な微分方程式の解法４ クレーローの微分方程式 [微分積分]
初等的な微分方程式の解法４ クレーローの微分方程式
次の微分方程式
をクレーローの微分方程式という。
（１）式の両辺をxで微分すると、
したがって、p'=0またはx+f'(p)=0である。
p'=0のとき、pは定数だからこれをcとおくと、
となり、これが一般解である。
また、x+f'(p)=0、すなわち、x=−f'(p)のとき、
これが特異解である。
以上より、クレーローがの微分方程式（１）の解は、
問１ 次の微分方程式を解け。ただし、
とする。
【解】
（１） y=px+p²の両辺をxで微分すると、
p'=0のとき、pは定数だからこれをp=cとおくと、一般解は
x+2p=0のとき、x=−2pとなり、これを用いて微分方程式y=px+p²からpを消去すると、特異解は
（別解）
x+2p=0のとき
だから、両辺を積分すると
これを微分方程式y=px+p²に代入すると
したがって、
は（任意定数を含まないので）特異解。
（２） 微分方程式の両辺をxで微分すると、
よって、p'=0のとき、
、すなわち、
のとき、
与えられた方程式の両辺を２乗すると、
したがって、
（解答終）
クレーローの微分方程式
の特異解
の表す曲線は、一般解y=cx+f(c)が表す直線族の包絡線である。
問３ クレーローの微分方程式
の特異解の表す曲線は、一般解y=cx+f(c)が表す直線族の包絡線であことを示せ。。
【解】
のとき
だから直線と曲線は共有点を有する。
この点における曲線の接線の勾配は
だから、直線y=cx+f(c)はこの曲線の接線である。
（解答終）
包絡線
αをパラメータとする曲線群f(x,y,α)=0の各曲線とただ１点で接する（共通接線）を曲線を、この曲線群の包絡線という。
f(x,y,α)を３変数のC¹級の関数とすると、曲線群f(x,y,α)=0の包絡線は、２曲線
の交点の軌跡で、この２式からαを消去した曲線に含まれる。
問２ 次の曲線群の包絡線を求めよ。
【解】
（１） y=αx+α²の両辺をαで偏微分すると、
αを消去すると、
よって、包絡線は
（２） の両辺をαで偏微分すると、
よって、
したがって、包絡線は
（解答終）
問２から問１のクレーローの微分方程式の特異解が一般解の包絡線になっていることが分かる。
特に、
クレーロー型の微分方程式の一般解がcの代数方程式の場合、その判別式＝０が特異解である。
たとえば、問１の（１）の場合、一般解は、y=cx+c²だから、これをcの２次方程式と考え、
（２）の場合、一般解は
だから両辺をc倍してcy=c²x+1とし、これをcの３次方程式と考え、
と特異解を求めることができる。
問４ 次の微分方程式を解け。
【解】
y=px+p²の両辺をxで微分すると、
ゆえに、p'=0またはx+3p²=0。
p'=0のとき、p=cで、一般解は
x=−3p²のとき、
この２式からpを消去すると、特異解は
（解答終）
【別解】
一般解はy=cx+c³だから
cについての３次方程式だから、その判別式=0とすると、特異解は
（別解終）
（※）
３次方程式x³+px+q=0の判別式Dは
クレーローの微分方程式ではないが、次の問題も挙げておこう。
問５ 次の微分方程式の一般解と特異解を求めよ。
【解】
両辺をxで微分すると、
p'=−1のとき
これを与えられた微分方程式に代入すると、
よって、
は一般解。
p=1/2のとき、
これを微分方程式に代入すると、
よって、
は（任意定数を含まないので）特異解。
（解答終）
したの図を見ると、この問題の場合も、特異解が一般解（の曲線群）の包絡線になっていることがわかる。
問６ 曲線群f(x,y,α)=x-−2y+α−α²=0の包絡線を求めよ。
【解】
したがって、包絡線は
（解答終）
今日の新潟は、死ぬほど、暑いケロ！！ [ひとこと言わねば]
新潟、死ぬほど暑いケロ！！
数日前に、こうなることを予想し、覚悟していたけれど、予想・覚悟が出来たって、暑さが和らぐはずがなく、暑いものは暑いケロ。
新潟市中央区は、午前１０：５２に３４．２℃を記録し、新潟市中央区の３５℃超えは必至で、気温がこれからどれくらい上がるか、予想できないにゃ。
４０℃越えも、俄然、現実味を帯びてきたようだ！！
きょうは新潟県中条が暑いぞ。ランチのあとに気ガリ（気軽）に一本。 #gariten #ガリガリ君
? ガリ天2019 (@gariten) September 8, 2019
台風〓
? かばちゃん@4階ご主人様 (@31Q0OoV2FeCfAkU) September 8, 2019気を付けて
新潟の方は台風の影響ですごく暑い溶けてしまいそう
![[台風]](https://blog.ss-blog.jp/_images_e/6.gif){kind=small}
![[がまん顔]](https://blog.ss-blog.jp/_images_e/208.gif){kind=small}
![[晴れ]](https://blog.ss-blog.jp/_images_e/1.gif){kind=small}
この強いフェーン現象で、夜中の気温もなかなか下がらず、暑くて寝苦しい夜になるんだろうな。
台風の次は“スーパー熱帯夜”直撃！？ （ZAKZAK）
— SNSNEWS.JP (@jp_snsnews) August 16, 2019
https://t.co/9oaF8GpXQs
日本気象協会：日本海側を中心にスーパー熱帯夜 https://t.co/n5TEJHdGrr
— パパぱふぅ@pahoo.org (@papa_pahoo) August 14, 2019
のみならず、
日本海側では、夜になってから気温がグングン上昇し、深夜に３０℃を越える最高気温を記録するなんて、太平洋側に住んでいるヒトからすると信じられない現象が起きたりもするんだケロよ。
どれが修正オイラー法なの？ [数値解析]
どれが修正オイラー法なの？
微分方程式の初期値問題
があるとする。
ねこ騙し数学では、
とするとき、
を修正オイラー法（改良オイラー法）、
を２次のルンゲ・クッタ法と呼んでいるが、（２）をホイン（Heun）法、（３）を修正オイラー法と呼ぶヒトがいるなど、その呼称はヒト、書籍などによって異なっているようである。
そして、新たに、修正オイラー法（？）と呼ばれる方法を紹介する。
まず、オイラー法を用いて
における（１）の厳密解
を予想する。
この値を求め、次のように修正する。
さらに、この値を用い
以下、同様に、
と計算を繰り返し、収束値
とする方法。
ネムネコが大学院時代から使っている数値解析の本ーー結構、有名な数値解析の古典で、教科書（海外の教科書の翻訳）ーーでは、この方法をホイン法（オイラー・ガウス予測修正子法）と呼んでいる。
混乱の極みにある。
そして、ネムネコは、カビが生えるくらい古臭いこの教科書ーーサンプルプログラムは、いつの時代の「ふぉーとらん」かわからないくらい古いもの（だって、この本が書かれたのは１９６０年代！！）で、そのサンプルプログラムを現代のFortranでコンパイルすると、エラーが出る（笑）ーーの呼称に従っている。リスペクトだにゃ。
さて、例によって、次の初期値問題を例にこの方法を具体的に紹介することにする。
この微分方程式の解が
であることは言うまでもないだろう。
さて、（７）をオイラー法で離散化すると、
になる。
修正オイラー法（２）の場合は、
２次のルンゲ・クッタ法も同じく
そして、厳密解の場合は
（８）、（９）、（１０）の括弧の中を注目して欲しいのだけれど、オイラー法は（１０）式の２次以上の項を切り捨てたもので、修正オイラー法３次以上の高次の項を切り捨てたものになっていることがわかるだろう。
つまり、このことからも、（８）式の局所的な（離散化）誤差の程度はO(h²)、（９）の局所的な（離散化）誤差の程度はO(h³)であることが確かめられる。
ここで新たな修正オイラー法の場合を説明する。
まず、オイラー法（８）でを推測するので、
次に、（５）式で修正するので、
さらに、
となり、
になる。
（１０）と（１１）を比較すると、（１０）の３次の項h³/6、（１１）の３次の項はh³/4で食い違っているので、極限値（１２）にどれくらいの意味があるのかは疑問だが、h=0.1のとき、
になり、これから
であることがわかるにゃ。
ちなみに、修正オイラー法は
で、
だから、今回、あらたな修正オイラー法（ホイン法？）の方がより厳密解に近いことがわかる。
問 次のことを示せ。
次に、h=0.1として、新たな修正オイラー法（ホイン法？）で、y(0.1)の近似値を求めるにゃ。
この問題の場合、２、３回程度修正すれば、よいことがわかる。
は
よりも真実の値から返って遠ざかり、精度を悪化させるので、この問題の場合、３回以上の修正は無意味だね。
次の
を求めるためには、で得た1.10525を
とし、
とする。
この新しい修正オイラー法（ホイン法？）は、厳密解との局所的な誤差を（２）式で定式化される修正オイラー法の1/2程度に抑えることが出来るんだケロ。
すごいケロ。
でも、
だから、
の方が
よりもいい値なんだにゃ。
何とも皮肉な話である。
この他にも、オイラー・リチャードソン法なんてのもある・・・。
Improved Euler's Methodの訳語も、修正オイラー法、改良オイラー法の２種類があり、さらに、混乱に拍車をかけているように思う。
ホント、困ってしまう。
Improved Euler's Method : 改良オイラー法（？）
Modified Euler's Method : 修正オイラー法（？）
こう翻訳した(・・?
ネット上に存在する、 大学の先生が書いた数値計算の記事でも２次のルンゲ・クッタ法を修正オイラー法と呼んでいるものがあるので、これらの記事を読むとき、十分、気をつけたほうがいいケロよ。
チョットお前らに質問！！ （直線に関して対称な点） [お前らに質問]
チョットお前らに質問！！ （直線に関して対称な点）
チョットお前らに次の問題を問うにゃ。
問題 大きさが１の単位ベクトル
に平行で原点Oを通る直線lがある。直線lに関して点Pと対称な点P’を求めよ。
問題を簡単化するために、直線lとxy平面上にあって、点Pの座標を(x,y)、点P’の座標を(x',y')、さらに、直線ｌとx軸のなす角度はθとしますか。
こうすると、直線lの傾きmは、
になり、直線lの方程式は
になるにゃ。
さらに、
こんな抽象的（？）な問題は解けないというやつは、
何なら、θ=60°としてもいいぞ。
θ=45°はダメだケロよ。
これは、
だから。
θ＝±９０°のときは、直線ｌはｙ軸と一致するので・・・。
裏を返せば、求めた式にθ=45°を代入したとき、
にならなければ、その式は間違っているってことだにゃ。
返って問題を難しくしている気がしないでもないが、
お前がベクトルなんて高等なものを使えるはずがないから、成分計算に持ち込めるように、座標を設定したやったにゃ。
ベクトルを使える奴は、
とし、とを用いて、
を表すにゃ。
さらに、できたら、これが１次変換であることを示すにゃ。
ネムネコは優しいから、絵までつけてやったにゃ。
これで解けなければ、お前らが悪いと思うケロ！！
【この問題に手も足も出ないダルマさんへの大ヒント】
Pを原点Oまわりに−θ回転させると、lとx軸は一致する。
この−θ回転させることによって、点P`が点Q(X,Y)に移り、点P'が点Q(X',Y')に移動したとすると、
そして、これを原点Oまわりにθ回転させれば・・・。
ダルマさんへのヒントは大嘘かもしれないし、自分の頭で考えて解くといいケロよ。
お前らに質問 （９月６日 オイラー法） [お前らに質問]
お前らに質問 （９月６日 オイラー法）
次の初期値問題がある。
これまでに何度も繰り返し言ってきたけれど、
オイラー法（Euler's Method）は、
を用い、
における（１）の解のの値を
で近似する方法だ。
さて、ここでお前らに質問！！
質問 次の初期値問題がある。
このとき、次の問に答えよ。
（１） h=0.1とし、オイラー法を用い、0.1間隔でx=0〜1までのyの（近似）値を求めよ。
（２） h=−0.1とし、x=1とx=1におけるyの値y₁₀を計算の起点にし、（２）式を用いて、逆向きにx=0.9からx=0までyの（近似）値を求めよ。こうして求めたx=0におけるyの（近似）値はy=1と一致するか。一致しなえれば、その理由を答えよ。
こういう計算は自分で、できたら、表計算ソフトでなく、手計算（そろばん、計算尺、電卓、さらに、タイガー計算機の使用はOK）でこの計算をして欲しいところだが・・・。
タイガー計算機
なんてことを言っても、お前らは絶対にこの問題を解かないので、仕方がないから計算結果を教えてやるにゃ。
x=0でy=1にならないにゃ。元の値に戻らないケロよ。
では、ここで改めて質問。
（１） なぜ、元に戻らないのか。
（２） 食い違いの最大値はx=0.9のときで、それからx=0.8、0.7、・・・、0.1、0と逆向きに計算するに連れて減少し、x=0のときに最小値になる。
なぜ、こうなるのか、高校生にわかるように説明せよ。
言っておくが、これは計算機特有の丸め誤差によるものじゃないケロよ。
さっ、答えてもらいましょうか。
この答えはddt³さんがきっと送ってくれにゃ。
た・ぶ・ん、
蛙飛び法（りーぷ・ふぉろっぐ法）の話などを交えて、解説してくれると思うにゃ。
リープ・フロッグ法
力学系のシミュレーションに際して、リープ・フロッグ法にはいくつか利点がある。
一つ目は、時間可逆性である。これは、n段時間積分したのち、時間を逆向きにn段数値積分すると、初期位置に戻るという性質である。
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