お前らに質問 （９月１０日 微分方程式） [お前らに質問]
お前らに質問 （９月１０日 微分方程式）
次の微分方程式がある。
（１）の特性方程式
の解がλ=1、2だから、（１）の一般解は
であることは、わかるよな。
これは、
もし
が解であるならば、
になるので、これを（１）の左辺に代入すると、
となり、
なので、
でなければならない、からだにゃ。
そして、この２次方程式の解がλ=1、2だから、
はともに（１）を満たす。
だから、
も（１）の解で、任意定数を２つ含むんでいるので、これは（１）の一般解ってわけだにゃ。
問 
が微分方程式（１）の解であることを確かめよ。
ここまではイントロだにゃ。
では、本題。
微分方程式
の特性方程式は
だから、重根λ=1がこの特性方程式の解だ。
そして、上の議論に従うならば、
の一般解のはずだ。
確かに、これはC₁、C₂と任意定数を２つ含んでいるので、（２）の一般解のように見えるが、
任意の実数C₁、C₂に対して、
となる実数が存在するので、
になってしまう。そして、これは任意定数を１つしか含んでいないので、（２）の一般解ではないにゃ。何故ならば、（２）は二階の微分方程式なので、（２）の一般解は任意定数を２つ持っていないといけないから。
そこで、お前らに質問だにゃ。
問題 微分方程式（２）に一般解は存在するでしょうか。
もし、存在するとすれば、どうやって、見つけたらいいでしょうか。
「（２）の特性方程式の解はλ=1の重根だから、
であることは常識だろう。
ネムネコは、何、血迷ったことを言っているんだ」
と思うヒトもいると思うが、
大学などの学校でそう習ったから、お前らは、ただ、そう、オウム返しだけかもしれない。
その可能性は極めて高いにゃ。
というわけで、
なぜ、（３）（のみ）が微分方程式（２）の一般解になるのか、オレが納得できるような説明ーー証明ではない！！。そんな高度なことをお前らに要求したりしない。ここ、ポイントーーをして欲しいにゃ。
ネムネコ、リープ・フロッグ（蛙飛び）法で単振動を計算する [数値解析]
ネムネコ、リープ・フロッグ（蛙飛び）法で単振動を計算する
物理で最も基本的な運動の一つに単振動（一次元調和振動子）というものがある。
ニュートンの運動方程式は
ここで、mは（質点の）質量、ωは角振動数（角速度）であり、xは（質点の重心の）位置、tは時刻である。
m>0なのだから、この方程式は
としてもいいよね。
さて、
とおくと、（２）式は次のようになる。
したがって、２階微分方程式（２）と次の１階の連立微分方程式は同じもの。
微分の合成公式から
になるので、（６）式は
これは何かといえば、（力学的）エネルギー保存則を表しているにゃ。
（２）式をさらに一般化し、
とすると、（７）は次の連立微分方程式になる。
そして、今回紹介するリープ・フロッグ（蛙飛び）法は、
という初期値問題を
という漸化式に書き換え、（１０）、（１１）から求まる
を微分方程式の解
の近似解にするもの。
（１０）に関しては、テーラー展開
から直ちに出るし、
と考えれば、微分方程式（９）は
となり、これを積分すると、
この右辺の積分を台形公式で近似すれば
となるので、
になる。
したがって、（１０）、（１１）の（離散化）誤差はO((Δt)³)で、修正オイラー法、２次のルンゲ・クッタ法と同程度ということになる。
通常、これとは違った導出をするのですが、同じ結果が得られるので、構いやしないや(^^ゞ。
Δt=0.1として、t=20までの２００ステップを、このリープ・フロッグ法、蛙飛び法を用いて、
を解いてみたにゃ。
こちらがその結果。
特に見て欲しいのが、横軸にx、縦軸に速度vをとった位相図。
厳密解は、
だから、
になるのですが、リープ・フロッグ法で解いた真円と見間違うほど綺麗な円を描く。
これに対して、リープ・フロッグ法と同程度の離散誤差をもつ２次のルンゲクッタ法を用いてこの問題を解いた場合、時間の経過とともに、誤差の伝播のためにエネルギーが増加し、軌道がx²+v²=1から徐々に徐々に離れていく。
スゴイにゃ、リープ・フロッグ法。
