初等的な微分方程式の解法４ ベルヌーイ形、リッカチ形の微分方程式 [微分積分]
初等的な微分方程式の解法４ ベルヌーイ形、リッカチ形の微分方程式
§１ ベルヌーイ形
をベルヌーイ形の微分方程式という。
（１）の両辺を
で割ると、
とおき、この両辺をxで微分すると
となるから、uの線形の微分方程式
を得る。
この微分方程式を解くことによって、ベルヌーイ形の微分方程式（１）を解くことができる。
問題１ 次の微分方程式を解け。
【解】
（１） この微分方程式はn=2のときのベルヌーイ形の微分方程式。
そこで、
両辺をxで微分すると、
したがって、①は
②の両辺に
を掛けると、
t=1/yだから
（２） この微分方程式はn=−3のときのベルヌーイ形の微分方程式。
両辺をy⁻³で割ると、すなわち、y³をかけると、
そこで、
とおき、両辺をxで微分すると、
よって、①は
両辺をx⁴で割ると、
（解答終）
（１）は
と変形すると、変数分離形の微分方程式。。
したがって、
これをyについて解くと
と解くことも出来る。
§２ リッカチ形
y(x)についての１階微分方程式
をリッカチの微分方程式という。
リッカチ形の微分方程式は一般に解くことはできないが、１つの特殊解y₁が既知であるとき次のように解くことができる。
y₁は（３）の特殊解だから、
（３）の両辺を上の式で引くと、
ここで、
とすると、
これはuについてのベルヌーイ形の微分方程式だから、
とおくと、
となるので、これを（４）式に代入すると、次の１階線形微分方程式を得る。
問題２ 次の微分方程式を解け。
【解】
（１） y=1/xとおくと、
したがって、y=1/xは微分方程式の解。
そこで、
とおくと、
よって、
両辺にx²を掛けると
したがて、
（２）y=1とすると、
したがって、y=1は微分方程式の解である。
そこで、
とおくと、
よって、
①の両辺にを掛けると
したがって、
（解答終）
