演算子法入門

演算子法入門

 

非同次の１階線形微分方程式

　　

のf(x)を定数関数0にした同次方程式（補助方程式）を

　　

とすると、（２）の一般解

　　

である。

 

定数係数の線形方程式の解法の復習として（１）を解いてみる。

（１）の両辺にを掛けると

　　

積分すると

　　

 

さて、（３）と（４）を比較すると、非同次の１階線形方程式（１）の一般解（４）は、同次方程式（２）の一般解（３）に、（１）の特殊解の１つであるを加えたものになっていることがわかる。

 

ここで、次の微分演算子

　　

を導入し、

　　

と表すことにすると、（１）は

　　

になる。

そして、新たに

　　

と定義すると、（５）は非同次方程式（１）の特殊解になることがわかる。

したがって、（１）の一般解は

　　

特に、a=0のとき、だから、

　　

ただし、不定積分は、積分定数を含まないものとする。

たとえば、

　　

だにゃ。

 

f(x)は何度でも微分可能、つまり、級とする。

部分積分すると

したがって、

　　

ここで、

　　

 

さて、

　　

と変形し、演算子Dをあたかも実数のように考え、

　　

とマクローリン展開すると、

　　

となり、これは（８）と一致する。

 

【参考】

　　

 

だ・か・ら、

例えば、

　　

といった計算をしてもいいってこと。

現に

　　

と一致する。

 

（部分）積分と微分のどちらの計算が楽かといえば、微分の方が楽だから、この計算法のメリットは計り知れない。

そして、一切積分することなく、同次方程式

　　

の一般解が

　　

であることがわかる。

 

さらに、α≠aのとき、

　　

また

　　

になる。

 

ただの積分だから次の関係が成り立つことは明らかだろう。

 

　　

 

 

問　次の微分方程式を解け。

【解】

の一般解は

 

（１）

　　

よって、

　　

 

（２）

　　

したがって、

　　

 

（３）

　　

したがって、

　　

（解答終）