ねこ騙し数学：SSブログ

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初等的な微分方程式の解法４　クレーローの微分方程式　 [微分積分]

初等的な微分方程式の解法４　クレーローの微分方程式

次の微分方程式

　　 $ku-001.png$

をクレーローの微分方程式という。

（１）式の両辺をxで微分すると、

　　 $ku-002.png$

したがって、p'=0またはx+f'(p)=0である。

p'=0のとき、pは定数だからこれをcとおくと、

となり、これが一般解である。

また、x+f'(p)=0、すなわち、x=−f'(p)のとき、

これが特異解である。

以上より、クレーローがの微分方程式（１）の解は、

　　 $ku-003.png$

問１　次の微分方程式を解け。ただし、とする。

$ku-004.png$

【解】

$y'=px+p^2.png$ （１）　y=px+p²の両辺をxで微分すると、

　　 $ku-005.png$

p'=0のとき、pは定数だからこれをp=cとおくと、一般解は

x+2p=0のとき、x=−2pとなり、これを用いて微分方程式y=px+p²からpを消去すると、特異解は

　　 $ku-006.png$

（別解）

x+2p=0のとき

　　 $ku-007.png$

だから、両辺を積分すると

　　 $ku-008.png$

これを微分方程式y=px+p²に代入すると

　　 $ku-009.png$

したがって、

は（任意定数を含まないので）特異解。

（２）　微分方程式の両辺をxで微分すると、

　　 $ku-010.png$

よって、p'=0のとき、

、すなわち、のとき、

与えられた方程式の両辺を２乗すると、

　　 $ku-011.png$

したがって、

　　 $ku-012.png$

$y'=px+1÷p.png$

（解答終）

クレーローの微分方程式

　　 $ku-013.png$

の特異解 $ku-014.png$ の表す曲線は、一般解y=cx+f(c)が表す直線族の包絡線である。

問３　クレーローの微分方程式

　　 $ku-013.png$

の特異 $ku-014.png$ 解の表す曲線は、一般解y=cx+f(c)が表す直線族の包絡線であことを示せ。。

【解】

のときだから直線と曲線は共有点を有する。

この点における曲線の接線の勾配は

　　 $ku-015.png$

だから、直線y=cx+f(c)はこの曲線の接線である。

（解答終）

包絡線

αをパラメータとする曲線群f(x,y,α)=0の各曲線とただ１点で接する（共通接線）を曲線を、この曲線群の包絡線という。

f(x,y,α)を３変数のC¹級の関数とすると、曲線群f(x,y,α)=0の包絡線は、２曲線

の交点の軌跡で、この２式からαを消去した曲線に含まれる。

問２　次の曲線群の包絡線を求めよ。

$ku-016.png$

【解】

（１）　y=αx+α²の両辺をαで偏微分すると、

　　 $ku-017.png$

αを消去すると、

　　 $ku-018.png$

よって、包絡線は

　　 $ku-021.png$

（２）　の両辺をαで偏微分すると、

　　 $ku-019.png$

よって、

　　 $ku-020.png$

したがって、包絡線は

（解答終）

問２から問１のクレーローの微分方程式の特異解が一般解の包絡線になっていることが分かる。

特に、

クレーロー型の微分方程式の一般解がcの代数方程式の場合、その判別式＝０が特異解である。

たとえば、問１の（１）の場合、一般解は、y=cx+c²だから、これをcの２次方程式と考え、

　　 $ku-022.png$

（２）の場合、一般解はだから両辺をc倍してcy=c²x+1とし、これをcの３次方程式と考え、

　　 $ku-023.png$

と特異解を求めることができる。

問４　次の微分方程式を解け。

【解】

y=px+p²の両辺をxで微分すると、

　　 $ku-024.png$

ゆえに、p'=0またはx+3p²=0。

p'=0のとき、p=cで、一般解は

x=−3p²のとき、

この２式からpを消去すると、特異解は

（解答終）

【別解】

一般解はy=cx+c³だから

cについての３次方程式だから、その判別式=0とすると、特異解は　　

　　 $ku-035.png$

（別解終）

（※）

３次方程式x³+px+q=0の判別式Dは

　　 $ku-026.png$

クレーローの微分方程式ではないが、次の問題も挙げておこう。

問５　次の微分方程式の一般解と特異解を求めよ。

　　 $ku-027.png$

【解】

両辺をxで微分すると、

　　 $ku-028.png$

p'=−1のとき

　　 $ku-029.png$

これを与えられた微分方程式に代入すると、

　　 $ku-030.png$

よって、

　　 $ku-031.png$

は一般解。

p=1/2のとき、

これを微分方程式に代入すると、

　　 $ku-032.png$

よって、

は（任意定数を含まないので）特異解。

（解答終）

したの図を見ると、この問題の場合も、特異解が一般解（の曲線群）の包絡線になっていることがわかる。

問６　曲線群f(x,y,α)=x-−2y+α−α²=0の包絡線を求めよ。

【解】

　　 $ku-033.png$

したがって、包絡線は

　　 $ku-034.png$

（解答終）

2019-09-08 12:00 nice!(0) コメント(0)

今日の新潟は、死ぬほど、暑いケロ！！　[ひとこと言わねば]

台風１５号の接近に伴い、どうも、新潟県は強いフェーン現象に見舞われているようで、
新潟、死ぬほど暑いケロ！！

https://is.gd/JLYb0V

９月８日の「今日は暑いケロ、ランキング、Top10」の上位を新潟県がほぼ独占しているにゃ。
数日前に、こうなることを予想し、覚悟していたけれど、予想・覚悟が出来たって、暑さが和らぐはずがなく、暑いものは暑いケロ。
新潟市中央区は、午前１０：５２に３４．２℃を記録し、新潟市中央区の３５℃超えは必至で、気温がこれからどれくらい上がるか、予想できないにゃ。

https://is.gd/BtmyTI

ひょっとしたら、９月８日の新潟市中央区の最高気温は３７℃くらいまで上がるかもしれないにゃ。

新潟県の秘密兵器、最終兵器、リーサルウェポンと呼ばれる胎内市中条は

この勢いだと、胎内市中条の最高気温は少なくとも３９℃まで上昇するね。
４０℃越えも、俄然、現実味を帯びてきたようだ！！

きょうは新潟県中条が暑いぞ。ランチのあとに気ガリ（気軽）に一本。 #gariten #ガリガリ君
? ガリ天2019 (@gariten) September 8, 2019

台風〓気を付けて
新潟の方は台風の影響ですごく暑い溶けてしまいそう
? かばちゃん@4階ご主人様 (@31Q0OoV2FeCfAkU) September 8, 2019

Twitterでは、このように呟かれているようだにゃ。

スーパー熱帯夜にはならないと思うけれど、
この強いフェーン現象で、夜中の気温もなかなか下がらず、暑くて寝苦しい夜になるんだろうな。

台風の次は“スーパー熱帯夜”直撃！？（ZAKZAK）
https://t.co/9oaF8GpXQs
— SNSNEWS.JP (@jp_snsnews) August 16, 2019

日本気象協会：日本海側を中心にスーパー熱帯夜 https://t.co/n5TEJHdGrr
— パパぱふぅ@pahoo.org (@papa_pahoo) August 14, 2019

台風による強いフェーン現象が発生すると、日本海側では、最低気温が３０℃を越えているスーパー熱帯夜が発生することがあるんだにゃ。
のみならず、
日本海側では、夜になってから気温がグングン上昇し、深夜に３０℃を越える最高気温を記録するなんて、太平洋側に住んでいるヒトからすると信じられない現象が起きたりもするんだケロよ。

タグ：暑い