初等的な微分方程式の解法６ ２階線形微分方程式（定数係数）の場合 [微分積分]
初等的な微分方程式の解法６ ２階線形微分方程式（定数係数）の場合
§１ 線形常微分方程式（定数係数）の解法
２階同次線形微分方程式（定数係数）の一般形は
である。
を（１）の（基本）解とすると，
だから、
だから、
でなければならない。この２次方程式を（１）の特性方程式といい、この２次方程式の解を特性解、特性根という。
（１）の特性方程式（２）の解をα、βとすると、２次方程式の解と係数の関係より、
であるから、（１）は
したがって、
y'–βy の一般解は、
である。
α≠βの場合
（３）式の両辺に
を掛けると、
とおくと、（１）の一般解は
α=β（重根）の場合
α=βだから（３）式は
両辺に
を掛けると、
C=C₂とすると、一般解は
となる。
なお、特性根が虚根p±qiのとき、
したがって、次のことが成り立つ。
同次方程式
の特性方程式
の解をα、βととすると、（１）の一般解は次のようになる。
（ⅰ） α、βが相異なる２実根のとき
（ⅱ） 重根λ=α=βのとき
（ⅲ） 虚根α=p+iq、β=p−iqのとき
問題１ 次の微分方程式を解け。
【解】
（１） 特性方程式は、
よって、一般解は
（２） 特性方程式は
したがって、一般解は
（３） 特性方程式は
よって、
（解答終）
n階線形微分方程式の一般形は、定数係数の場合、
がを解にもつとすれば、
そこで、
とおけば、
となり、
を満たすとき、
は（３）の解の１つとなる。
（４）を（３）の特性方程式といい、その解を特性解、特性根という。
問題２ 次の微分方程式を解け。
【解】
（１） 特性方程式は
よって、一般解は
（２） 特性方程式は
よって、一般解は
（解答終）
§２ ２階線形非同次常微分方程式（定数係数）
２階線形非同次微分方程式の一般形は
である。
（５）の一般解は、同次線形方程式（１）の一般解と（５）の特殊解の和で表されるので、まず、同次方程式（１）の一般形を求め、何らかの方法で非同時方程式（５）の特殊解を求めたのち、それを先に求めた同次方程式の一般解に加えればよい。
【証明】
yを（５）の一般解、y₁を（５）の特殊解とすると、
①と②の両辺の差をとると、
ここで、φ=y−y₁とおくと、
③の一般解をφとすると、
（証明終）
問題３ 次の微分方程式を解け。
【解】
（１） 同次方程式y''–2 y –y=0の特性方程式
だから、この一般解は
非同次方程式
の特殊解がy=ax²+by+cであるとすると、
だから、これを①に代入すると、
ゆえに、a=−1、b=1、c=−1。
したがって、y=–x²+x–1は①の特殊解。
だから、①の一般解は
（２） 同次形方程式y''–y=0の一般解は
非同次方程式
の特殊解がy=Acos+Bsinxであるとすると、
だから、①に代入すると、
よって、
は①の特殊解である。
したがって、①の一般解は
（解答終）
