９月１７日の問題の解答例

問題の解答例

 

問　次の微分方程式を解け。

 

（１）については、

　　

とすると、

　　

だから、これを代入すると

　　

となり、これから

　　

が特殊解。

また、

　　

の一般解は

　　

だから、

　　

 

紹介していないが、演算子法を使うと、特殊解y₀は

　　

と簡単に求められる。

ここで、

　　

であり、

　　

という謎の公式を使っている(^^ゞ。

 

 

（２）では、特殊解は

　　

であろうと推測し、これを微分方程式の左辺に代入すると

　　

だから

　　

となってしまう(^^)。

 

困ったね〜。

 

ではあるが、

　　

として、これを微分方程式の左辺に代入し、それがになるようにAとnを定めればいいんじゃなかろうか。

　　

これを代入すると、

　　

したがって、

　　

よって、n=2、A=1/2。

また、

　　

の一般解は

　　

なので、

　　

 

 

上の方法は、意外に面倒だね。

 

ならば、定数変化法を用いて

 

【定数変化法を用いた解法】

はy''−2y'+y=0の（基本）解の１つなので、

　　

とおくと、

　　　　

これを代入すると

　　

したがって、

　　

よって、

　　

これではちょっと見栄えが悪いので、として、

　　　　

（定数変化法を用いた解法終）

 

 

【直接積分する解法】

　　

なので、

　　

とおくと

　　

両辺を倍すると

　　

よって、

　　

両辺を倍すると

　　

見た目が悪いので、と置き直して

　　

（直接積分する解法終）

 

 

【ロンスキアンを使う】

同次方程式

　　

の基本解は、だから、

　　

したがって、

　　

は、

　　

の特殊解の１つ。

よって、

　　

（ロンスキアンを使う解法終）

 

【定理】

y₁、y₂を同次方程式

　　

の基本解とすると、

　　

は

　　

の特殊解である。

ここで、

　　

 

謎の公式⑨を使うと、

　　

塩梅が悪いのであった。

 

 

問題２　非同次の微分方程式

　　

を解きたい。

そこで、次の指示に従って、①の一般解を求めよ。

 

【指示１】

（１）　同次方程式を解け。

（２）　として、これが①を満たすように定数A、Bを定めよ。

（３）　非同次方程式の一般解を答えよ。

 

【指示２】

（１）　は同次方程式の解である。そこで、

　　

として、①をuの微分方程式に書き換えよ。

（２）　とおいて、（１）で得られた微分方程式を解け。

（３）　このようにして求めた解が【指示１】のそれと一致することを確かめよ。

 

【解答】

　【指示１】

（１）　特性方程式は

　　

となるので、

　　

 

（２）　が特殊解であるとすると

　　

よって、

　　

 

（３）

　　

 

 

【指示２】

（１）　とすると、

　　

だから、これを左辺に代入すると

　　

 

（２）（３）　v=u'とおくと、

　　

両辺にを掛けると

　　

したがって、

　　

よって、

　　

ここで、とおくと

　　

（解答終）