9月17日の問題の解答例 [微分積分]
問題の解答例
問 次の微分方程式を解け。
(1)については、
とすると、
だから、これを代入すると
となり、これから
が特殊解。
また、
の一般解は
だから、
紹介していないが、演算子法を使うと、特殊解y₀は
と簡単に求められる。
ここで、
であり、
という謎の公式を使っている(^^ゞ。
(2)では、特殊解は
であろうと推測し、これを微分方程式の左辺に代入すると
だから
となってしまう(^^)。
困ったね〜。
ではあるが、
として、これを微分方程式の左辺に代入し、それがになるようにAとnを定めればいいんじゃなかろうか。
これを代入すると、
したがって、
よって、n=2、A=1/2。
また、
の一般解は
なので、
上の方法は、意外に面倒だね。
ならば、定数変化法を用いて
【定数変化法を用いた解法】
はy''−2y'+y=0の(基本)解の1つなので、
とおくと、
これを代入すると
したがって、
よって、
これではちょっと見栄えが悪いので、として、
(定数変化法を用いた解法終)
【直接積分する解法】
なので、
とおくと
両辺を倍すると
よって、
両辺を倍すると
見た目が悪いので、と置き直して
(直接積分する解法終)
【ロンスキアンを使う】
同次方程式
の基本解は、だから、
したがって、
は、
の特殊解の1つ。
よって、
(ロンスキアンを使う解法終)
【定理】
y₁、y₂を同次方程式
の基本解とすると、
は
の特殊解である。
ここで、
謎の公式⑨を使うと、
塩梅が悪いのであった。
問題2 非同次の微分方程式
を解きたい。
そこで、次の指示に従って、①の一般解を求めよ。
【指示1】
(1) 同次方程式を解け。
(3) 非同次方程式の一般解を答えよ。
【指示2】
(1) は同次方程式の解である。そこで、
として、①をuの微分方程式に書き換えよ。
(2) とおいて、(1)で得られた微分方程式を解け。
(3) このようにして求めた解が【指示1】のそれと一致することを確かめよ。
【解答】
【指示1】
(1) 特性方程式は
となるので、
よって、
(3)
【指示2】
(1) とすると、
だから、これを左辺に代入すると
(2)(3) v=u'とおくと、
両辺にを掛けると
したがって、
よって、
ここで、とおくと
(解答終)
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