お前らに質問（９月２０日 マクロリーン展開と微分演算子法による微分方程式の解法） [お前らに質問]
お前らに質問（９月２０日 マクロリーン展開と微分演算子法による微分方程式の解法）
関数f(x)が何回でも微分可能、すなわち、
級であるとき、f(x)は原点O、点x=0のまわりで
と、マクローリン展開できることをお前らは知っているはずだ。
そして、
であるとき、
これをマクローリン級数という。
では、お前らに質問！！
問題１
（１） 
のマクローリン級数を求めよ。
（２） 次のこと
を利用し,
と
のマクローリン級数を求め、（１）で求めたのマクローリン級数と一致することを示せ。
さてさて、この結果を踏まえて、次の非同次の２階微分方程式の一般解を求めてもらおうじゃないか。
問題２ 次の問に答えよ。
（１） 同次方程式
の一般解を求めよ。
（２） 次の値を求めよ。
（３） 次のことが成り立つことを示せ。
（４） 非同次の微分方程式
を解け。
（念のため、）
ここで、
であり、
まぁ、
（４）はy=ax+bとし、微分方程式の左辺に代入すると、
だから、
したがって、y=−x−2は微分方程式の特殊解・・・。
と解いてもいいけれど、これじゃ〜、ネムネコの出題意図を全く理解していないことになる。
ネムネコの顔に泥を塗るような、こんな神をも畏れない所業をした奴は、市中引き回しの上、打首、獄門だケロよ。
なんたって、ネコは地球そのものだからね。
お前らは、ネムネコの言いつけをひたすら守って、ネムネコに尽くせばいいんだにゃ。
ネムネコの操り人形であれば十分だにゃ。
この動画↓のように、誠心誠意、ネムネコに尽くすことこそ、お前らの幸せだにゃ。
なお、
問題１、２ともに、定義に従って計算するのは、阿呆のすること。
お前らが、いやしくも理系である、もしくは、かつてあったならば、少なくとも、高校時代に
という公式を習っているはずだ。
そして、この公式は、まさしくのマクローリン級数！！
だから、問題１は、即答できなければオカシイ。
演算子法入門 その２ [微分積分]
演算子法入門 その２
非同次の２階線形方程式
がある。
これは
と変形し、
とおくと
となり、この一般解
である。
したがって、
である。
ゆえに、同次方程式
の一般解に特殊解
に
を加えたものになっていることがわかる。
さて、a≠bのとき
を部分積分すれば、
前回、導入した、演算子
ならびに
を用いて、この結果を表すと、次のようになる。
したがって、
が成立する。
また、このことは、微分演算子Dをあたかも実数のように考え、
と部分分数に分解して良いことを示している。
a=bのときは
である。
以下、同様に、
が成り立つ。
また、
が成立する。
より一般に
であるとき、
が成り立つ。
なお、上の計算では、前回の公式
を使っていることに注意。
問１ 次の微分方程式を解け。
【解】
微分方程式
の一般解は
非同次の微分方程式
の特殊解については、
よって、
（解答終）
問２ 次の微分方程式を解け。
【解】
同次方程式
の特性方程式は
したがって、同次方程式の一般解は
非同次方程式の特殊解については
ここで、
とマクローリン展開（？）すると
ゆえに、一般解は
（解答終）
と部分分数（？）に分解し、
と計算し、
と、特殊解を求めてもよい。
問１はともかく、問２の場合、（部分）積分を一切せず、微分するだけで非同次方程式の特殊解を求められるという利点はあるけれど、計算が楽かといえば、何とも微妙。
しかも、演算子法の演算公式をあらたにいくつか覚えないといけないので、ねこ騙し数学では、（微分）演算子法による微分方程式の解法を推奨しません。
まぁ、
としたとき、非同次のn階微分方程式
の特殊解y₀は
であると簡潔に表せるメリットはあるけれど・・・。
今回は、こういう微分方程式の解き方もあるんだということで・・・。
