お前らに質問 （９月１０日 微分方程式）

お前らに質問　（９月１０日　微分方程式）

 

 

次の微分方程式がある。

　　

 

（１）の特性方程式

　　

の解がλ=1、2だから、（１）の一般解は

　　

であることは、わかるよな。

 

これは、

もしが解であるならば、

　　

になるので、これを（１）の左辺に代入すると、

となり、なので、

でなければならない、からだにゃ。

そして、この２次方程式の解がλ=1、2だから、はともに（１）を満たす。

だから、

　　

も（１）の解で、任意定数を２つ含むんでいるので、これは（１）の一般解ってわけだにゃ。

 

問　が微分方程式（１）の解であることを確かめよ。

 

 

ここまではイントロだにゃ。

では、本題。

 

微分方程式

　　

の特性方程式は

　　

だから、重根λ=1がこの特性方程式の解だ。

そして、上の議論に従うならば、

　　

の一般解のはずだ。

確かに、これはC₁、C₂と任意定数を２つ含んでいるので、（２）の一般解のように見えるが、

任意の実数C₁、C₂に対して、

　　

となる実数が存在するので、

　　

になってしまう。そして、これは任意定数を１つしか含んでいないので、（２）の一般解ではないにゃ。何故ならば、（２）は二階の微分方程式なので、（２）の一般解は任意定数を２つ持っていないといけないから。

 

 

そこで、お前らに質問だにゃ。

 

 

問題　微分方程式（２）に一般解は存在するでしょうか。

もし、存在するとすれば、どうやって、見つけたらいいでしょうか。

 

「（２）の特性方程式の解はλ=1の重根だから、

　　

であることは常識だろう。

ネムネコは、何、血迷ったことを言っているんだ」

と思うヒトもいると思うが、

大学などの学校でそう習ったから、お前らは、ただ、そう、オウム返しだけかもしれない。

その可能性は極めて高いにゃ。

 

というわけで、

なぜ、（３）（のみ）が微分方程式（２）の一般解になるのか、オレが納得できるような説明ーー証明ではない！！。そんな高度なことをお前らに要求したりしない。ここ、ポイントーーをして欲しいにゃ。