お前らに質問 （８月２２日 定積分の近似 台形公式）

今回は、簡単な問題！！

 

問題　a、bが任意の実数のとき、

　　

はf(x)が１次以下の多項式であれば成り立つが、f(x)が２次以上の多項式であると、一般に、成り立たない。

このとき、次の問に答えよ。

（１）　f(x)=x²のとき、（A)の右辺の値を左辺の積分の近似値とみれば、その誤差は(b−a)³に比例することを示せ。

（２）　積分を求めるのに、積分の区間0≦x≦1をn個の区間に等分し、各区間ごとに近似式（A)を用い、それらの近似値を加えて出す。このようにして得られる積分の誤差を1/10⁴より小さくするには、nをいくつにすればよいか。

 

 

簡単な問題のはずだから、さくっと解いてもらおうじゃないか。

このブログの数学の記事を大学受験生が見ているとは思わないが、ひょっとしたら、どこかの大学で似たような問題が出るかもしれないにゃ。

（注意）　これは画像（イメージ）です。計算ボタンをクリックしても計算はしてくれないにゃ。

ネムネコが３年ほど前に作り、公開したスクリプト（←の青いところをクリックすると、そこに飛ぶにゃ。n=41と入力し、計算ボタンをクリックするといいにゃ。）で計算すると、n=41のとき、誤差は0.000099147となり、1/10⁴以下になっているにゃ。
だから、（２）の答は４１じゃ〜なかろうか。（このスクリプトによると、n=40だと、1/10⁴より大きい・・・）

ただし、これじゃ〜、解答にならない。
いやまぁ、これを計算するプログラムを自分で作り、そして、計算してこの答（？）を見つけ出したというのであれば、解答として認めてもいいが・・・。

さらに、「みんなのうた」から、この曲、動画を♪

問題の解答とさらなる質問 （定積分の近似計算）

問題２　a、bを任意の実数とするとき、等式

　　

はf(x)が３次以下の多項式であれば成り立つが、４次以上の多項式であると成り立たない（a≠b）。

f(x)=x⁴のとき、(A)の右辺の値を左辺の積分の近似値とみれば、その誤差は(b−a)⁵に比例することを示せ。

【略解】

　　

よって、誤差は(b−a)⁵に比例する。

（略解終）

 

（A）で定積分を近似した場合、

その誤差は(b−a)⁵に比例する

という結論は（数値計算の）理論上重要な事実。
この簡単な計算から、シンプソンの公式の（局所的な）誤差が(b−a)⁵に比例するということがわかるんだよね。

 

昨日の数学の記事で、

「a、bを任意の実数とするとき、等式

　　

はf(x)が３次以下の多項式であれば成り立つ」

と書いた。

 

そして、公式（A）の右辺はf(x)をの３点を用いて２次関数で近似することによって得られるという話をした。

だとすれば、（A）式で正確に計算できるのはf(x)が２次以下の多項式（関数）の場合であるはずだ。

しかし、

f(x)=x³、さらに、a=0、b=1とし、（A）式の右辺を用いて、を近似的に（？）計算すると、

　　

となり、の正しい値を与える。

 

考えれみれば、妙な話だ。

 

というわけで、お前らに次の命題を証明してもらおうじゃないか。

 

命題

a、bを任意の実数とするとき、等式

　　

はf(x)が３次以下の多項式であれば成り立つ

 

もちろん、

　　

とし、

　　

と、

　　

を計算し、この両者の値が等しくなることで、証明してもらって結構だにゃ。

 

 

 

さらに、

　　

【Β（べーた）関数を用いた証明】

　　

と置き、置換積分をすると、

　　

だから、

　　

である。

　　　

したがって、

　　

（証明終）

 

もちろん

　　

だから、