斜方投射の動画をBloggerにアップ！！ ついでに数値的に解いてみた

試しにオイラー法で解いてみた

 

「この微分方程式くらいならば、オイラー法で十分じゃねぇ」と思ったので、

今日の記事で取り上げた

　　

の近似解（数値解）を、最も簡単なオイラー法で求めてみた。

その結果は、コチラ↓。

 

 

とりあえず、これだけ合っていれば十分だろう。

 

上の連立微分方程式の場合、オイラー法を用いると、、時刻tにおけるu(t)、x(t)の値を元に、時刻t+Δtのu(t+Δt)とx(t+Δt)が

　　

という簡単な式で表される。

Δtを一定にし、

　　

とすると

　　

 

ここからは余談だけれど、

①は次のように変形すると、

　　

となり、そして、Δtは一定と仮定しているので、数列は初項、公比1−Δtの等比数列であることわかる。

したがって、

　　

で、u₀=1とし、区間[0,1]をn等分すると、

　　

となるので、

　　

そした、n→∞の極限を取ると

　　

で、

　　

の解は

　　

だから、t=1とすると、

　　

となり、この両者は一致するのであった。

 

ということで、

もうひとつの微分方程式

　　

も、オイラー法で、結構、いい精度で解くことが出来そうだね。

こちらの場合は、

　　

 

話を簡単にするために、としたけれど、

角度θで投げ出す斜方投射の場合、初期値は

　　

だケロよ。

そして、γは無次元化された重力加速度であることに注意。

この無次元重力加速度に質点の質量、空気抵抗の比例定数などがすべて集約されているんだケロよ。

 

あと、Bloggerの方に、斜方投射のアニメーション動画をアップしておいたので、興味のある奴は見るといいにゃ。

リンク先はこちら↓

http://nemneko.blogspot.com/2019/08/blog-post.html

 

そしていつもどおり、自画自賛をして、記事を結ぶのであった。

 

斜方投射と到達距離

斜方投射と到達距離

 

北朝鮮が、また、ロケット花火を打ち上げたので、極初歩的な弾道軌道の計算をしてみることにするにゃ。

地球は球形だけれど、問題を簡単化するために、地球は平ら、重力加速度gは一定と仮定する。

 

§１　放物運動　（空気抵抗がない場合）

 

時刻t=0で速さで地平線（x軸）となす角度θで、質量mの質点が投げ出されたとする。

このとき、（ニュートンの）運動方程式は次のようになる。

　　

初期条件は

　　

とおき、①の両辺をmで割ると、

　　

t=0のときだから

　　

これを積分すると

　　

初期条件x(0)=0から

　　

②の両辺をmで割ると

　　

とおき、これを書き換えると

　　

重力加速度gは定数だから、両辺を積分すると

　　

初期条件より

　　　　

さらに積分すると

　　

初期条件y(0)=0より

　　

したがって、

　　

が解になる（高校の物理の公式）。

 

次に、質点の運動の軌道を求めることにする。

（３）より、

　　

これを（４）式に代入すると

　　

したがって、最高の高さHは

　　

到達距離Lは

　　

0<θ<９０°とすると、sin2θ=1になるのはθ=45°の時だから、最大到達距離

　　

である。

 

もっと簡単に解けるけれど、高校の物理などとの兼ね合いで、こう解いてみたにゃ。

 

問　高校の物理らしく、最高の高さHと到達距離を求めよ。

【解】

v=0のときに、yは最大になる。

したがって、（２）より

　　

これを（４）式に代入すると、

　　

（４）式でy=0になるtの値を求めると、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

 

§２　空気抵抗がある場合

 

以上の議論は空気抵抗がない場合の話。空気抵抗が速度に比例する場合、運動方程式は次のようになる。

　　

kは比例定数だケロ。

初期条件は空気抵抗がない場合と同一とする。

　　

③の一般解は見た瞬間

　　

とわかる。

初期条件はだから

　　

これを積分すると

　　

t=0のときx=0だから

　　

 

④はじっと見ると

　　

初期条件はだから

　　

これを積分すると

　　

t=0のときy=0だから

　　

よって、

　　

したがって、微分方程式の解は

　　

 

 

 

（１１）をtについて解き、それを（１２）に代入すれば、軌道をy=f(x)という形で表すことができるけれど、形がオドロオドロなりすぎるにゃ。

 

 

問　変数分離で④を解け。

 

 

地平線（x軸）にぶつかれば跳ね返るけれど、跳ね返ることなくもし永遠に落下し続けるとすれば、終端速度は

　　

そして、

　　

 

ここで、お前らに問題。

 

問題１　t≧0とするとき、（１２）式で与え与えられるyの最大値Hを求めよ。

【ヒント】

yが最大になるとき、

 

到達距離Lを求めようと無謀なことは考えないほうがいいにゃ。

だって、

　　　　

の解を求める必要があるからだにゃ。

まぁ、t=0という自明な解はすぐに求まるが・・・。

 

 

問題２　km/t>0が１に対して非常に小さいとき、空気抵抗がない時の解（１）〜（４）は、空気抵抗を考慮した解（９）〜（１２）の近似になるはずである。

このとことを示せ。

　　

 

　　

 

【ヒント】

　　

さらに、もう一曲♪

ところで、ネムネコは微分方程式

　　

を次元（物理単位）をもつまんま解いたけれど、この微分方程式は何らかの方法で無次元化して解くべきだね。

たとえば、無次元化された速度

　　

は無次元化された時間

　　

を導入する。

すると、（無次元化された）微分方程式は次のようになるのかな。

　　

ここで、γは無次元化された重力加速度で

　　

こうすれば、「メートル」、「フィート」や、「キログラム」、「ポンド」といった単位によらないより普遍的な方程式になり、微分方程式を解くのも楽になる。

こうすると、初期条件は

　　

 

ネムネコが考えるに、

ddt³さんが、きっと、こういった話をしてくれるに違いない。

さらに、初期値問題⑨を解くスプレッドシートを作ってくれるに違いない(^^ゞ