定積分の近似と誤差の限界 [微分積分]
定積分の近似と誤差の限界
f(x)を[a,b]でC¹級、すなわち、f'(x)が[a,b]で連続であるとする。
を
と近似したときの誤差について考える。
部分積分すると
仮定より、[a,b]において(b−x)は非負連続なので、積分の(第一)平均値の定理より
を満たすξが存在する。
したがって、
これが、積分の値を(1)式の右辺で近似したときの誤差を与える式になる。
次に、を
と近似した時の誤差について考える。
部分積分すると
積分の平均値の定理より、
したがって、
f(x)=x、a=0、b=1の場合について計算してみると、
また、f'(x)=1なので、
となり、(2)、(4)を満たしていることがわかる。
定理
f(x)が[a,b]でC¹級であるとき、
を満たすξが存在する。
また、
とおき、(2)、(4)の剰余項が消えるようにLとRの平均を取ると、
と台形公式が得られる。
区間[a,b]をn等分し、
となるように点を配する。
すなわち、
そして、[a,b]の小区間を作り、
とすると、定理より
が成立する。
また、
という関係があるので、
の最大値をMとすると、
したがって、
と、を近似した誤差の限界はになる。
だから、分割数を10倍にすれば誤差は約1/10に、分割数を100倍にすれば約1/100になる、
台形公式の場合、
とおくと、
なので、
同様の議論をすると、
とを近似したときの誤差の限界は
ここで、Mはの最大値である。
つまり、台形公式(6)の場合、分割数を10倍にすると誤差は約1/100、分割数を100倍にすると誤差は約1/10000になるってワケ。