初等的な微分方程式の解法２ 同次形

初等的な微分方程式の解法２　同次形

 

正規形の微分方程式

　　

の右辺G(x,y)がy/xの関数、すなわち、

　　

であるとき、同次形という。

このとき、

　　

とおくと、次のように変数分離形に変換でき、一般解を求めることができる。

　　

 

 

問題１　次の微分方程式を解け。

【解】

（１）　右辺は、t=y/xとおくと、f(t)=1/tの形になるので、同次形。

y=txとおくと、

　　

 

（２）　右辺の分母分子をx²で割ると

　　

よって、同次形。

y=txとおくと

　　

ここで、

　　

よって、

　　

 

（３）　右辺をxで割ると

　　

したがって、同次形。

y=txとおくと

　　

ここで、

　　

よって、①は

　　

 

（４）　t=y/xとおくとy=tx。この両辺をxで微分すると、

　　

したがって、

　　

これをyについて解けば、

　　

（解答終）

 

（１）は同次形の微分方程式として解いたけれど、これは変数分離法で

　　

 

 

同次形ではないが、微分方程式

　　

は、次のように変形することによって同次形の微分方程式に帰着させることができる。

 

（ⅰ）　のとき

連立方程式

　　

を満たす(x₀,y₀)が存在するので、

　　

によって(X,Y)の微分方程式にする。すなわち、

　　

により

　　

と同次形の微分方程式に変換できる。

 

（ⅱ）　のとき、

b≠0のとき、t=ax+byとおくと

　　

b'≠0のとき、t=a'x+b'yとおくと

　　

 

 

問題２　次の微分方程式を解け。

【解】

（１）

　　　

連立方程式

　　

を解くと、(x₀,y₀)=(1,1)。

ここで、x=X+1、y=Y+1とおくと、dx=dX、dy=dYだから

　　

Y=Xtとおくと

　　

よって、

　　

 

（２）　だからt=2x–3yとおくと、微分方程式は

　　

これを解くと

　　

（解答終）