お前らに質問！ （８月２１日 定積分の近似計算）

お前らに質問！　（８月２１日　定積分の近似計算）

 

関数f(x)は有界な閉区間[a,b]で連続、cを点aと点bの中点とする。すなわち、

　　

(a,f(a))、(c,f(a))、(b,f(b))の３点を通る２次関数をg(x)とすると、g(x)は、ラグランジュ補間によって

　　

と表すことができる。

 

g(x)が２次関数であることは明らかで、

　　

になるから、曲線y=g(x)が(a,f(a))、(c,f(a))、(b,f(b))の３点を通るから間違いない。

 

このことを踏まえて、お前らに質問！

 

問題１

　　

とするとき、次の値を求めよ。

　　

ただし、

　　

とする。

（答）

　　

 

真面目にg(x)の右辺を展開し、を計算すれば、（１）になるはずだけれど、それでは計算が大変なので、できるだけうまく計算して欲しいにゃ。

 

ノーヒントだと大変かもしれないので、ヒントを！！

　　

あるいは、

　　

 

 

問題２　a、bを任意の実数とするとき、等式

　　

はf(x)が３次以下の多項式であれば成り立つが、４次以上の多項式であると成り立たない（a≠b）。

f(x)=x⁴のとき、(A)の右辺の値を左辺の積分の近似値とみれば、その誤差は(b−a)⁵に比例することを示せ。

 

 

公式（２）、（２’）の証明

　　

 

Β（ベータ）関数を使った高尚な（？）証明法は、たとえば、次のようにするにゃ。

　　

とおくと、t=0のときx=a、t=1のときx=bになる。

　　

したがって、置換積分すると、

　　

Β関数とΓ関数の性質から

　　

よって、

　　

 

ちなみに、

　　

であり、次の性質があるんだケロ。

　　

 

 

Β関数なんて使わなくても、⑨から

　　

となるんだけれどね(^^ゞ

 

さらに、「我は」と思う奴は、次の公式を（Β関数を使って）証明するにゃ。

　　

 

（３）式は、図形的には、曲線y=(x−a)²(b−a)とx軸とで囲まれている図形（斜線部）の面積を表すにゃ。

おまけ

追加問題２、３の解答（？）

追加問題２、３の解答（？）

 

追加問題２　次の不定積分を求めよ。

　　

【解答例】

　　

（解答終）

 

ところで、x=tanθとし、置換積分したら、どうなるであろうか。

 

【別解】

x=tanθと置くと

　　

一方、

　　

だから、

　　

（別解終）

 

部分積分を使わないので、こちらの方がスッキリしているのかもしれない。

 

 

追加問題３　次のことを示せ。

　　

【解】

　　

（解答終）

 

したがって、

　　

と置いたとき

　　

という漸化式を用いて、を逐次的に求めることができる。