お前らに質問！ （８月２１日 定積分の近似計算）

お前らに質問！　（８月２１日　定積分の近似計算）

 

関数f(x)は有界な閉区間[a,b]で連続、cを点aと点bの中点とする。すなわち、

　　

(a,f(a))、(c,f(a))、(b,f(b))の３点を通る２次関数をg(x)とすると、g(x)は、ラグランジュ補間によって

　　

と表すことができる。

 

g(x)が２次関数であることは明らかで、

　　

になるから、曲線y=g(x)が(a,f(a))、(c,f(a))、(b,f(b))の３点を通るから間違いない。

 

このことを踏まえて、お前らに質問！

 

問題１

　　

とするとき、次の値を求めよ。

　　

ただし、

　　

とする。

（答）

　　

 

真面目にg(x)の右辺を展開し、を計算すれば、（１）になるはずだけれど、それでは計算が大変なので、できるだけうまく計算して欲しいにゃ。

 

ノーヒントだと大変かもしれないので、ヒントを！！

　　

あるいは、

　　

 

 

問題２　a、bを任意の実数とするとき、等式

　　

はf(x)が３次以下の多項式であれば成り立つが、４次以上の多項式であると成り立たない（a≠b）。

f(x)=x⁴のとき、(A)の右辺の値を左辺の積分の近似値とみれば、その誤差は(b−a)⁵に比例することを示せ。

 

 

公式（２）、（２’）の証明

　　

 

Β（ベータ）関数を使った高尚な（？）証明法は、たとえば、次のようにするにゃ。

　　

とおくと、t=0のときx=a、t=1のときx=bになる。

　　

したがって、置換積分すると、

　　

Β関数とΓ関数の性質から

　　

よって、

　　

 

ちなみに、

　　

であり、次の性質があるんだケロ。

　　

 

 

Β関数なんて使わなくても、⑨から

　　

となるんだけれどね(^^ゞ

 

さらに、「我は」と思う奴は、次の公式を（Β関数を使って）証明するにゃ。

　　

 

（３）式は、図形的には、曲線y=(x−a)²(b−a)とx軸とで囲まれている図形（斜線部）の面積を表すにゃ。

おまけ

 

このブログは、大学入試の受験生を対象としていないし、また、「（数学の）公式は、できるだけ、覚えるな。覚えるから忘れるんだ！」をポリシーとしているのだが、公式（２）、（２’）は問題を解くとき、結構、使い道があることは確か。

 

問１　曲線y=x²と直線y=3x−2とで囲まれる図形の面積を求めよ。

【解】

曲線y=x²と直線y=3x−2との交点のx座標を求めると、

　　

したがって、求めるべき面積Sは

　　

（解答終）

 

公式（２）を使うと、

　　

といった計算を省略することができる。

 

 

問２　曲線y=x²と直線y=mx+1とで囲まれる図形の面積Sを求めよ。

【解】

曲線y=x²と直線y=mx+1の交点のx座標をxとすると、

　　

２次方程式①の判別式をDとすると、

　　

よって、①は相異なる②実根α<βをもつ。

したがって、

　　

ところで、２次方程式①の解と係数の関係より

　　

という関係があるので、

　　

これを②式に代入すると

　　

（解答終）

 

①の解は

　　

だから、

　　

とし、これを馬鹿正直に計算しようとしたら、死んでしまうケロよ。

きっと、このお花を見ることになるにゃ。

これらのことを踏まえ、次の問にチャレンジしてもらいましょうか。

 

問題　２つの曲線y=2x²−5x、y=−x²+x+12で囲まれた部分の面積を求めよ。

【答】　20√5

何でも、すぐに、解き方や解答を教えてもらえるなんて考えちゃ〜ダメだにゃ。
あれこれ試行錯誤し、自分で解くのが楽しいんだから。