問題の解答とさらなる質問 （定積分の近似計算）

問題２　a、bを任意の実数とするとき、等式

　　

はf(x)が３次以下の多項式であれば成り立つが、４次以上の多項式であると成り立たない（a≠b）。

f(x)=x⁴のとき、(A)の右辺の値を左辺の積分の近似値とみれば、その誤差は(b−a)⁵に比例することを示せ。

【略解】

　　

よって、誤差は(b−a)⁵に比例する。

（略解終）

 

（A）で定積分を近似した場合、

その誤差は(b−a)⁵に比例する

という結論は（数値計算の）理論上重要な事実。
この簡単な計算から、シンプソンの公式の（局所的な）誤差が(b−a)⁵に比例するということがわかるんだよね。

 

昨日の数学の記事で、

「a、bを任意の実数とするとき、等式

　　

はf(x)が３次以下の多項式であれば成り立つ」

と書いた。

 

そして、公式（A）の右辺はf(x)をの３点を用いて２次関数で近似することによって得られるという話をした。

だとすれば、（A）式で正確に計算できるのはf(x)が２次以下の多項式（関数）の場合であるはずだ。

しかし、

f(x)=x³、さらに、a=0、b=1とし、（A）式の右辺を用いて、を近似的に（？）計算すると、

　　

となり、の正しい値を与える。

 

考えれみれば、妙な話だ。

 

というわけで、お前らに次の命題を証明してもらおうじゃないか。

 

命題

a、bを任意の実数とするとき、等式

　　

はf(x)が３次以下の多項式であれば成り立つ

 

もちろん、

　　

とし、

　　

と、

　　

を計算し、この両者の値が等しくなることで、証明してもらって結構だにゃ。

 

 

 

さらに、

　　

【Β（べーた）関数を用いた証明】

　　

と置き、置換積分をすると、

　　

だから、

　　

である。

　　　

したがって、

　　

（証明終）

 

もちろん

　　

だから、