お前らに質問（８月８日 コレは物理の問題か） [お前らに質問]
お前らに質問（８月８日 コレは物理の問題か）
静電容量Cのコンデンサーと電気抵抗がRである抵抗で直列回路を構成する。
コンデンサーに蓄えられた電荷（電気量）をQ、直列回路を流れる電流をIとすると、電荷の保存則から
という関係が得られる。
また、電圧をVとすると、
という関係が成り立つので、①を次のように書き換えることができる。
では、お前らに問題！！
【問題】
（１） C、Rは定数であるして、微分方程式④を解け。ただし、時刻t=0における電荷はQ₀であるとする。
（２） 電流Iを求めよ。
（３） 次の値を求めよ。
（４） 
を求めよ。
物理的な内容を含んでいるので幻惑されるかもしれないけれど、簡単な数学の計算問題だから、お前ら、最後まで「ちゃんとやれ！」。
そして、この問題を全て解くことができると、t=0のときにコンデンサーに蓄えられた電気的エネルギーが
であることがわかるにゃ。
何故、そうなるかって。
それは数学の問題じゃなく、物理の問題だからddt³さんに訊くのが筋だにゃ。
ではあるが、コンデンサーに蓄えられていたエネルギーがジュール熱としてすべて消費されるから、
になるんだよ。つまり、エネルギー保存則から、こうなるってわけ。
ニュートンの冷却の法則と雨粒の落下速度 [ねこ騙し物理]
ニュートンの冷却の法則と雨粒の落下速度
ニュートンの冷却の法則
物体の冷える速度は、物体の温度と周囲の温度の温度差に比例する。
時刻tにおける物体の温度をT、周囲の温度を
、さらに比例定数をk>0とすると、ニュートンの冷却法則は、次の微分方程式で表すことができる。
この微分方程式（１）は、変数分離法を用いて、次のように解くことができる。
時刻t=0における物体の温度をT₀とすると、
よって、
したがって、
つまり、十分に時間が経過すると、物体の温度は周囲の温度と等しくなる。
微分方程式の（特殊）解は、（２）ではなく、次のように表したほうが物理的に、より、一般的なのだろう。
さてさて、いま、変数分離法を用いて微分方程式（１）を解いたが、周囲の温度は一定と仮定しているので、（１）は次のように書き換えることができる。
そこで、
とおくと、
よって、この微分方程式の一般解は次のようになる。
だから、
となり、初期条件t=0のときT=T₀を代入すると、（２）または（３）を得る。
なお、変数分離法を用いない微分方程式（４）の解法は次のようになる。
（４）から
両辺に
を掛けると、
もちろん、と置き換えることなく、（１）式を
と変形し、この両辺にをかけ、
さらに、これを積分し、
と解くこともできる。
数学的には、と置き換えて解こうが、上記のように直接解こうが、どちらでも構わないのですが、自然現象、特に、物理現象には、微分方程式（４）の形に表されるものが意外に多い。たとえば、放射性物質の崩壊、コンデンサーの放電、日焼けの原因になる紫外線の皮膚への浸透などなど。
次に、地上数千メートルの高さから雨粒が落ちてくる運動について考える。
雨粒の質量と落下速さそれぞれmとvとし、重力加速度をgとし、落下する雨粒を減速させる抵抗力が速さvに比例すると仮定すると、雨粒の運動方程式は次のようになる。
両辺をmで割ると、
mg/kが一定であると仮定すると、
高さ数千メートルのところから落ち始める雨粒の速さvは0だろうから、落ち始めの時刻をt=0とすると、
したがって、
この上限の速さmg//kを、（雨粒の）終端速度という。
もし、空気抵抗がないすると、高さH=２０００ｍから初速０で雨粒が落ちてくる雨粒の地表面での速さは
という猛烈な速度になる。
これくらいの速度になると、水、雨粒は固体と同じだから、雨粒はショットガンの散弾以上の破壊力を持つことになり、地上にはいかなる生き物も存在し得ないことになる！！
なお、終端速度は（６）でdv/dt=0とおいた
から求めることができる。
あるいは、（６）式でt→∞の極限をとって求めることができる。
雨粒ではなく油滴ですが、物理学者ミリカンは、油滴の終端速度を利用し電子の電荷（電気量）を求め、のちにノーベル物理学賞を受賞しているにゃ。
この実験を、ミリカンの油滴実験という。
ミリカンの油滴実験
