ネムネコ法（笑・実はただのテーラー展開）に明るい未来はあるか

ネムネコ法（笑・実はただのテーラー展開）に未来はあるか

 

 

ネムネコ法（笑）を用いて、次の初期値問題をh=0.1で解くことを考える。

　　

 

とおく。

２次のネムネコ法（笑）は、（１）式と、 テーラー展開

　　

から得られる次の漸化式

　　

を用いて前進的に解いてゆく方法である。

そのため、における１階微分と２階微分の値が必要になる。

における１階微分の近似値については（１）から

　　

さらに、（１）を微分すると、

　　

となるのでにおける２階微分の近似値は

　　

これを（２）に代入すると、

　　

となり、i=0を計算の起点にし、

　　

と前進的に次々と計算することが出来る。

 

h=0.1で、初期条件がだから、x₀=0なので、

　　

といった具合に微分方程式（１）の初期値問題を数知的に解くことが出来る。

 

オイラー法の場合、

　　

とおくと、

　　

となるので、

　　

となる。

 

微分方程式（１）の解は

　　

だから、

　　

 

ネムネコ法（笑）とオイラー法との計算精度の差は歴然だケロ。

しかも、ネムネコ法（笑）は簡単に精度の向上を図ることが出来る。

 

のテーラー展開を３次の項まで取ると

　　

である。

３次導関数は

　　

だから、漸化式は

　　

したがって、

　　

 

そして、

　　

とすれば、（多分）あの有名な４次のルンゲ・クッタを越える高精度の計算が可能になるのであった。

このとき、５次のネムネコ法（笑）の計算結果は

　　

CASIOさんの高精度計算サイトの結果によると、４次のルンゲクッタは

　　

で、５次のネムネコ法（笑）の計算結果に軍配が上がるのであった。

 

 

このように、ネムネコ法（笑）はいくらでも簡単に高精度化が可能で、（しかも、打ち切り）誤差の解析ーーただのテーラー展開なのだから当たり前！！ーーも容易。

しかし、その反面、問題ごとに使用する漸化式を自分で作らなければならず、プログラムの自動化には向かない。この点は素直に認めなければならい。

しか〜し、微分方程式の初期値問題の表計算ソフトを用いた数値解法には向いているのかもしれない。

 

では、例によって、お前らに問題。

 

問題１　微分方程式に関して、次の問に答えよ。

（１）　一般解を求めよ。

（２）　x=0のときy=0とする特殊解を求めよ。

 

問題２　微分方程式に関して、次の問に答えよ。

（１）　微分方程式の解を求めよ。

（２）　h=0.1とし２次のネムネコ法（笑）を用いて、x=0.1〜0.5まで数値的に解け。そして、計算結果を比較せよ。

できたら、オイラー法による数値解も求め、計算結果を比較せよ。

 

 

ちなみに、CASIOさんのところで４次のルンゲ・クッタ法を用いて解くと、次の答えになる。

 

 https://is.gd/J989qe

 

 

男なら、必ず、やれよな！！

 

 このブログの訪問者に女性はいないと思うけれどーーリケジョはいるかもしれないが、ネムネコの頭の中で、リケジョは女性と別のカテゴリーに分類される(^^ゞ。だって、ネムネコは、リケジョは自分と同じ種族だと思っているから・・・ーー、

 

女もそうさ、見てるだけじゃ、始まらない♪